Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными

Рассмотренные в §2 волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа существенно отличаются друг от друга. Это отличие заключается и в их физической природе, и в постановке задач, и как увидим ниже, в методах их исследования. Оказывается, что эти уравнения являются представителями трех различных классов, на которые можно разбить большую часть всех уравнений с частными производными второго порядка, линейных относительно вторых производных. Настоящий параграф и будет посвящен этой классификации, при этом мы ограничимся случаем двух независимых переменных.

Итак, рассмотрим уравнение (1.3) в некоторой области плоскости переменных . Предположим, что коэффициенты уравнения (1.3) имеют производные до второго порядка включительно, непрерывные в области ; - непрерывная функция своих аргументов. Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных привести уравнение (1.3) к наиболее простому виду.

Введем новые переменные:

(3.1)

От функций (3.1) потребуем, чтобы они были дважды непрерывно дифференцируемыми и чтобы якобиан

(3.2)

в рассматриваемой области . Как известно, условие (3.2) является необходимым и достаточным для существования обратного преобразования

(3.3)

Преобразования (3.3) позволяют выразить производные в уравнении (1.3) через производные функции по новым переменным . Используя формулы дифференцирования сложных функций нескольких переменных, получаем

(3.4)

Подставляя значения производных из (3.4) в (1.3), приходим к уравнению

(3.5)

где

(3.6)

явное выражение нас не интересует.

Функции найдем так, чтобы обратить некоторые из коэффициентов в нуль. Из соотношений (3.6) видно, что вопрос об обращении в нуль и эквивалентен вопросу разрешимости дифференциального уравнения первого порядка вида

(3.7)

относительно неизвестной функции Поделив уравнение (3.7) на и решая его затем как квадратное уравнение относительно , для определения функции получим два линейных уравнения с частными производными первого порядка вида

(3.8)

Уравнения (3.8) решаются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нашем случае имеют вид

или

Эти уравнения, в свою очередь, могут быть записаны в виде одного уравнения

(3.9)

Уравнение (3.9) называется характеристическим уравнением для (1.3). Пусть

(3.10)

- общие решения уравнения (3.9). Кривые (3.10) называются характеристиками уравнения (1.3).

Поведение общих решений (3.10), а следовательно, и искомый простейший вид уравнения (1.3), зависит от знака дискриминанта Нетрудно проверить, что

(3.11)

следовательно, знак не меняется при преобразованиях независимых переменных. В связи с этим классификация уравнений вида (1.3) производится по знаку .

Уравнение (1.3) называется в некоторой точке области уравнением

- гиперболического типа, если

- эллиптического типа, если

- параболического типа, если

Если в некоторой области дискриминант или в , то уравнение (1.3) называется соответственно уравнением гиперболического, эллиптического и параболического типа в области .

В приложениях встречаются такие уравнения, у которых не сохраняет знака во всей рассматриваемой области. Это – так называемые вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа. Мы ими заниматься не будем.

Вернемся теперь к задаче упрощения уравнения (1.3), причем каждый тип будем рассматривать в отдельности.

1. Характеристическое уравнение (3.9) имеет два вещественных и различных общих решения (3.10). За новые переменные возьмем

(3.12)

Так как функции удовлетворяют уравнению (3.7), то из (3.6) получим Из (3.11) следует Разделив уравнение (3.5) на , будем иметь:

(3.13)

где

(3.13) есть канонический вид уравнения гиперболического типа.

2. В этом случае общие решения уравнения (3.9) вещественны и совпадают. Положим

,

а за возьмем любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию, для которой якобиан Тогда из (3.6) следует Так как , то из (3.11) будем иметь Нетрудно показать, что Поделив теперь уравнение (3.5) на , получим

(3.14)

где

(3.14) есть канонический вид уравнения параболического типа.

3. В этом случае общие решения (3.10) характеристического уравнения (3.9) являются комплексными величинами. Пусть

- одно из решений (3.10); другое решение будет комплексно сопряженным с указанным. За новые переменные возьмем

Подставляя в уравнение (3.7) его решение , получаем

откуда, разделяя вещественную и мнимую части, будем иметь:

Если учесть соотношения (3.6), то видно, что Из (3.11) следует Поделив теперь уравнение (3.5) на , получим

(3.15)

(3.15) есть канонический вид уравнения эллиптического типа.

Отметим, что рассмотренные в §2 уравнения колебаний струны (2.8), теплопроводности (2.31), Лапласа (2.38) принадлежат соответственно гиперболическому, параболическому и эллиптическому типу.

Отметим также, что классификация дифференциальных уравнений с частными производными производится и в случае, когда число независимых переменных больше двух [1]. Волновое уравнение (2.17), уравнения теплопроводности (2.29) и Лапласа (2.37) принадлежат соответственно гиперболическому, параболическому и эллиптическому типу.

Пример 3.1. Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

Решение. Так как и , то данное уравнение гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. В соответствии с (3.9) составим характеристическое уравнение

Решаем его. Получаем

Следовательно, уравнение имеет характеристики Поэтому в соответствии с (3.12) положим

Так как вторые производные функций равны нулю, то с помощью формул (3.4) получаем

Эти выражения производных подставим в исходное уравнение:

откуда, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем канонический вид уравнения .

Пример 3.2. Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

Решение. Так как и во всех точках, не лежащих на прямых или , то в любом открытом квадранте данное уравнение имеет эллиптический тип. Приведем его к каноническому виду. В соответствии с (3.9) составим характеристическое уравнение

Решаем его. Имеем:

Следовательно, уравнение имеет комплексно сопряженные характеристики Поэтому полагаем

Так как

то с помощью формул (3.4) находим

Подставив эти значения в исходное уравнение, получим

т.е. Сокращая на приходим к уравнению канонического вида

Пример 3.3. Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

Решение. Так как и , то уравнение параболического типа. Приведем его к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение

Левая часть этого уравнения есть полный квадрат: , откуда Это есть уравнение с разделяющимися переменными.

Решаем его:

Итак, характеристическое уравнение имеет одно семейство действительных характеристик. Положим

,

а за в соответствии с вышесказанным возьмем любую дважды не-

прерывно дифференцируемую функцию, для которой якобиан Например, пусть Тогда

Так как

то подставляя эти значения производных в (3.4), получаем

Теперь эти выражения производных внесем в исходное уравнение. Получим

откуда Сократив на , получим канонический вид заданного уравнения:

Задачи

Определить тип уравнений и привести их к каноническому виду.

3.1.

Ответ: гиперболический,

3.2.

Ответ: параболический,

3.3.

Ответ: эллиптический,

3.4.

Ответ: гиперболический,

3.5.

Ответ: параболический,

3.6.

Ответ: гиперболический,

3.7.

Ответ: гиперболический,

3.8.

Ответ: гиперболический,

3.9.

Ответ: эллиптический,

3.10.

Ответ: параболический,