Многоканальная СМО с отказами

Пусть СМО имеет не один канал, а несколько (n ≥1)^[6], на который поступает пуассоновский поток заявок П_вх с интенсивностью . Время Т_об обслуживания каждым каналом одной заявки распределено по показательному закону. Поток обслуживания П_об каждым каналом будет простейшим с интенсивностью . Заявка, поступившая на вход в момент, когда все каналы заняты обслуживанием, получает отказ и покидает систему. Многоканальная СМО с отказами - классическая задача А.К. Эрланга.

Запишем предельные вероятности состояний системы и показатели её эффективности в таблицы 8.4-8.5.

 

Таблица 8.4 - Параметры n- канальной СМО с отказами

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1.	Число каналов обслуживания	n ≥1
2.	Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх	, (l не зависит от времени t)
3.	Производительность каждого канала – интенсивность простейшего «потока обслуживаний» Поб (среднее число заявок, обслуживаемое одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе без простоя)	, (m не зависит от времени t)
4.	Непрерывная случайная величина Тоб - время обслуживания одной заявки одним каналом, распределена по показательному закону с параметром m

 

 

Таблица 8.5 - Предельные характеристики эффективности функционирования n -канальной СМО с отказами

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний СМО рk, k =0, 1, …, n, выраженные через интенсивность входящего потока l и интенсивность потока обслуживаний m
2.	Приведённая интенсивность входящего потока - трафик (показатель нагрузки СМО)	где - среднее время обслуживания одной заявки одним каналом; - средний интервал времени между двумя соседними заявками во входящем потоке
3.	Вероятности состояний СМО рk, k =0, 1, …, n, выраженные через трафик r
4.	Вероятности состояний СМО рk, k =0, 1, …, n, выраженные через средний интервал времени между соседними поступающими заявками, и среднее время обслуживания одной заявки
5.	Вероятность отказа ротк
6.	Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
7.	Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)
8.	Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)

Продолжение таблицы 8.5

 

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
9.	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
10.	Среднее число занятых каналов
11.	Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла)

 

Задача 8.2

В мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся за 1 час, равно 15. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание клиента, 5 мин.

Определить основные характеристики эффективности функционирования данной мастерской в предельном режиме и:

· Вероятность того, что клиент получит отказ;

· Вероятность того, что клиент будет обслужен;

· Среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской за час;

· Среднее число занятых мастеров.

Решение:

В условиях задачи математической моделью мастерской является многоканальная СМО с отказами, имеющая своими параметрами:

число каналов n =3;

интенсивность входящего потока (чел./час);

среднее время обслуживания =5 мин;

интенсивность потока обслуживаний (чел./мин)=12 (чел./час);

показатель нагрузки СМО (эрланга).

Вычисление предельных вероятностей состояний проведём в таблице 8.6.

· вероятность того, что все мастера свободны т.е. р ₀=0,2979.

· вероятность того, что только один мастер занят т.е. р ₁=0,3724.

· вероятность того, что два мастера заняты т.е. р ₂=0,2327.

· вероятность того, что все три мастера заняты т.е. р ₃=0,0970.

Вероятность того, что клиент получит отказ равна вероятности отказа,равна вероятности того, что заняты все три мастера, т.е. р ₃=0,0970.

Таблица 8.6 - Расчёт предельных вероятностей состояний

Значения случайной величины k (число занятых мастеров)
		0,2979
	1,25	0,3724	0,3724
	0,7813	0,2327	0,4655
	0,3255	0,0970	0,2909
S	3,3568	1,0000	1,1288
	0,2979

 

Вычислим вероятность того, что клиент будет обслужен или вычислим относительную пропускную способность мастерской:

- то есть в установившемся предельном режиме из 100 человек, обратившихся в мастерскую в среднем 10 получат отказ, а 90 будут обслужены.

 

Определим предельное значение абсолютной пропускной способности:

- то есть в установившемся предельном режиме среднее число клиентов, обслуживаемых за 1 час составляет 14 человек.

Таким образом оптимальное финансовое решение об организации мастерской должно приниматься с учётом затрат на содержание каждого мастера и потерь в доходе, связанных с необслуженными клиентами.

 

Контрольные вопросы

 

1. Кем была впервые выполнена задача исследования многоканальной СМО с отказами?

2. Графом какого процесса является размеченный граф состояний n -канальной СМО с отказами?

3. Что собой представляет приведённая интенсивность входящего потока заявок?

4. Чему равна приведённая интенсивность входящего потока заявок для многоканальной СМО с отказами?

5. Чему равна относительная пропускная способность для многоканальной СМО с отказами?

6. Чему равна абсолютная пропускная способность для многоканальной СМО с отказами?

7. Чему равна интенсивность выходящего потока обслуженных заявок для многоканальной СМО с отказами?