Скалярное и векторное произведения векторов.

Рассматриваемые в механике величины можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их числовым значением, и векторные, т.е. такие, которые помимо числового значения характеризуются ещё и направлением в пространстве.

Скалярным произведением нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

На плоскости: = a_x * b_x + a_y * b_y

В пространстве: = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z

 

Векторная сумма двух векторов:

Постоим вектор с, который назовём векторным произведением двух векторов .

(1)

Как построить вектор С?

Важно для вектора указать его направление и длину.

1) Положительное направление вектора С совпадает с направлением острия буравчика, если его рукоятку вращать от .

2) Вектор С перпендикулярен плоскости, образованной векторами .

3) Длина вектора С.

С = a * b * sinα (2)

α = 90°

c = a*b

 

Эти векторы безразмеры и равны 0:

Пример:

n⃑_x = n⃑_y * n⃑_z

n⃑_z = n⃑_x * n⃑_y

n⃑_y = n⃑_x * n⃑_z

Векторное произведение зависит от порядка множителя!

 

 

Момент импульса и момент силы для материальной точки.

▼ Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

▼ Моментом импульса МТ относительно точки О называется вектор, определяемый следующим образом:

(1) – момент импульса

т.е. момент импульса МТ равен векторному произведению радиуса вектора МТ на вектор импульса.

[ ]=LMLT=L²MT^-1 = м²·кг·с⁻¹

 

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Пример: машина одновременно тормозим, и поворачивает влево.

M₁ + M₂ – M₃ – M₄ = 0

M₂ < M₁ , M₃, M₄

 

 

Момент силы мы определим с помощью векторного произведения.

▼ Момент силы действует на МТ М, относительно точки О, называется вектор, определённый следующим образом:

(2) – момент сил

Рассмотрим ∆OAM:

∟OAM = 90°

h –плечо

Уравнение движения для момента импульса.

Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Зная, что получим:

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1) по времени: т.е.

Это выражение — уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Законы изменения и сохранения момента импульса.