Глава I. Элементы линейной алгебры.

Определители.

Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов

, где

– элементы матрицы, – номер строки, – номер столбца

 

Только для квадратных матриц введено понятие определителя.

Теорема: Определитель матрицы или определитель n- го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:

,

где – алгебраическое дополнение к элементу ;

 

Определение: Минором элемента называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания i- ой строки и j- го столбца.

В частных случаях:

или схематический (метод треугольников):

 

Матрицы и линейные операции над ними.

 

, ,

, справедливо:

 

Глава II. Векторная алгебра.

Основные понятия.

Если , где ; ; – координаты вектора ,

, , – вектора базиса; то модуль или длина вектора определяется по формуле:

Если вектора и коллинеарны, то

Операции над векторами.

Пусть , .

Тогда

1)

2) Скалярное произведение векторов и :

3) В пространстве последняя формула примет вид: , где , .

Переход к новому базису.

В некотором базисе даны вектора: , , .

Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторами и , т.е. решить векторное уравнение:

, ,

которое сводится к системе линейных уравнений:

 

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Представление комплексных чисел.

1. Алгебраическая форма комплексного числа:

, , – мнимая единица,

– действительная часть комплексного числа, обозначается ,

– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается .

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости (обратное справедливо).

 

2. Тригонометрическая форма комплексного числа:

, где

 

– модуль комплексного числа ,

– аргумент комплексного числа ,

, .

– главное значение аргумента комплексного числа ;

.

Распределение знака по четвертям:

3. Показательная форма комплексного числа:

Действия над комплексными числами

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу

Степени мнимой единицы:

…

…

…

… ,

В частных случаях:

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

 

Если каждому элементу множества некоторым способом поставлен в соответствие один элемент множества , то говорят, что задано отображение множества в множество . Записывают:

или

и изображают с помощью диаграмм Венна:

Пример:

 

 

 

ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

& – знак конъюнкции, логического умножения;

Ú – знак дизъюнкции, логического сложения;

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. ;

6. , , , ;

7. , ;

8.

9.

 

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.

Сочетания: (порядок элементов внутри выборки не важен)

Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)

Перестановки:

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.

§ 7.1. Преобразования графиков функций.

 

Корень уравнения.

Если уравнение имеет единственный корень при , то уравнение так же имеет корень при .

 

ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.