Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
 2018-01-05 |
 1603 |
из
5.00
|
Заказать работу |
Содержание книги
Поиск на нашем сайте
|
|
|
|
В общем случае суммадвух определителей (или их разность) не может быть записана в виде одногоопределителя:
.
Эта сумма не может быть выражена через определители иначе, чем 
; например, она не может быть записана как 
.
2.3. Разложение определителя по элементам строки (столбца)
Рассмотрим квадратную матрицу любого порядка 
, где 
,
и её определитель.
Для вычисления такого определителя необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.
Определение. Минором элемента 
определителя 
порядка называется определитель 
порядка, полученный из исходного вычеркиванием 
строки и 
столбца (той строки и того столбца, на пересечении 
стоитэлемент ).
Минор элемента обозначается 
.
Здесь
первый индекс означает номер строки,
второй – номер столбца, которые вычеркиваются.
Например,
миноромэлемента 
определителя
будетопределитель 
.
В определителе 3-го порядка 
миноромэлемента 
являетсяопределитель 2-го порядка 
.
Миноромэлемента 
определителя 
является элемент 
(определитель 1-го порядка).
Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком 
.
Алгебраическое дополнениеэлемента будем обозначать 
.
В соответствии с определением
. (2.11)
Для элементов, расположенных на главной диагонали, алгебраическое дополнение совпадает с минором:
.
Очевидно,
если сумма 
четная, то алгебраическое дополнение имеет тот же знак, что и минор;
если сумма 
нечетная, то знак изменится на противоположный знак.
Миноры двух соседних элементов строки (столбца) всегда приобретают противоположные знаки, т.к. при изменении 
или 
на одну единицу четность числа меняется.
Распределение знаков у миноров (для получения алгебраических дополнений) можно изобразить следующим образом:
| + | − | + | − |
| − | + | − | + |
| + | − | + | − |
| − | + | − | + |
Теорема 2. 1 (разложения). Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
▲ Для определителя 2-го порядка это утверждение следует из формулы (2.4).
Докажем, что оно верно и дляопределителя третьего порядка.
Преобразуя правую часть формулы (2.8),
обозначив её левую часть 
.
Т.к.
и
,
то
, (2.12)
где – определитель (2.8); 
– алгебраические дополненияэлементов 
. ▼
Формула (2.12) называется разложением определителя по элементам первой строки.
Аналогично получаются разложения соответственно по элементамдвух других строк и столбцов.
Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя 
.
▲ В данном случае 
.
В соответствии с определениемминора получаем
.
По формуле (2.11) находим алгебраические дополнения
. ▼
Пример 2. Вычислить определитель 
, разложив его по элементам первой строки.
▲ По формуле (2.12) получаем
▼
Пример 3. Вычислить определитель 
, разложив его по элементам второго столбца.
▲ По теореме 2.11 получаем 
.
Далее, находим
;
;
откуда 
. ▼
Пример 4. Вычислить определитель 
, преобразовавего и разложив по элементам 1-го столбца.
▲ Производя соответствующие преобразования, находим
.
Второй определитель получен в результате следующих преобразований 1-го определителя:
Ø первая строкаумножена на (-2) и сложенасо второй (св-во 8);
Ø первая строкаумножена на (-1) и сложенас третьей (св-во 8).
Далее второй определительразложен по элементам 1-го столбца по формуле, аналогичной формуле (2.12)
(второе и третье слагаемое этой суммы в этом примере не выписаны; они равны нулю, ибо содержатнулевые множители).
Для наглядности, перечисленные выше операции, будем указывать стрелками. ▼
Теорема 2.2 (следствие из теоремы 1). Если все элементы 
строки (столбца) определителя 
, кроме одного, например , равны нулю, то определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение:
. (2.13)
Пример 5. Вычислить определитель 4-го порядка
,
разложив его по элементам 2-го столбца.
▲ Т.к. 
, то по формуле (2.13) получаем
,
откуда, снова разлагая полученный определитель 3-го порядкапо элементам 2-го столбца, находим
. ▼
Теорема 2. 3 (замещения). Пусть 
– определитель 3-го порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какого-нибудь столбца (строки) на любые числа 
равна
определителю 
, который получается из данного определителя заменой указанного столбца (строки) столбцом (строкой) из чисел .
▲ Р ассмотрим определитель 3-го порядка и определитель , полученныйиз данного определителя заменой 1-го столбца столбцомиз чисел :
, (2.14)
На основании теоремы разложения 2.1
. ▼
Теорема 2. 4 (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя 3-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
▲ Пусть дан определитель (
(2.14)).
Докажем, например, что
,
т.е. сумма произведений элементов 1-го столбцана алгебраические дополненияэлементов 2-го столбцаравнанулю.
По теореме 2.3 (в данном случае 
) имеем
.
Поскольку этот определитель равен нулю (как содержащийдва одинаковых столбца), то . ▼
2.4. Определение определителя 
порядка
Чтобы подметить общее правило составленияопределителей матриц 
порядка, присмотримся внимательнее к определителям 2-го и 3-го порядков.
Отвлекаясь пока от знака, поставим вопрос: чем характеризуются произведения, входящие в состав определителя?
1. Прежде всего, замечаем, что число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы.
2. Далее, если обратимся к какому-нибудь конкретному произведению, то увидим, что в нём сомножители взяты по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца.
3. Число различных произведений, из которых строится определитель матрицы 
, равно числу всех перестановок 
(
для определителя 2-го порядка),
(
для определителя 3-го порядка),
т.е. равно 
(
число произведений дляопределителя 2-го порядка) и
(
число произведений дляопределителя 3-го порядка).
Так обстоит дело дляопределителей 2-го и 3-го порядков, и в этом мы убеждаемся, анализируя определения первого раздела.
Естественно предположить, что мы получим разумное определениеопределителя 
порядка, если в его основу положим эту подмеченную закономерность.
Определение 1 (предварительное). Определителем матрицы порядка называется
сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых
по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца;
при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по некоторому правилу.
Предполагая, что есть матрица 4-го порядка, рассмотрим несколько примеров.
1. Произведения 
и 
не входят в определительматрицы , т.к. число сомножителей в них не равно порядку матрицы.
2. Произведение 
также не входит в определитель, т.к. два сомножителя, и 
, принадлежат одному и тому же (второму) столбцу.
3. Произведения 
и 
содержат множителипо одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, – следовательно, они входят в составопределителя.
Замечание. Говоря об определителе матрицы, мы до сих пор предполагали, что порядок матрицы 
.
Ясно, что вполне допустимо рассматривать таблицу, состоящую лишь из одного числа, т.е. квадратную матрицу 1-го порядка. Применив определениеопределителя к этому случаю, мы легко увидим, что если 
, то 
, т.е. определитель матрицы 1-го порядка равен (единственному) элементу этой матрицы.
Определение 2. Определителем матрицы порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:
. (2.15)
Формула (2.15) выражает правило составления определителя 
порядка по элементам первой строки соответствующей матрицы и по алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителями 
порядка, взятыми с надлежащими знаками.
Из формулы (2.15)
получаем формулу (2.4) (по определению),
– формулу (2.12) (по теореме разложения).
Правило (2.15) дает возможность свести
Ø вычисленияопределителей матриц 4-го порядкак вычислениюопределителей матриц 3-го порядка,
Ø вычислениеопределителей матриц 5-го порядкак вычислениюопределителей матриц 4-го порядка и т.д.
Естественно, возникает вопрос,
нельзя ли использовать для получения величиныопределителяэлементыи соответствующие им миноры не первой, а любой строки матрицы,
а также вопрос о разложенииопределителяпо элементам любого столбца.
Ответ на эти вопросы дают две основные теоремы, приводимые здесь без доказательств.
Теорема 2. 5. Каков бы ни был номер строки 
для определителя порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по строке.
Теорема 2. 6. Каков бы ни был номер столбца 
для определителя порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по 
столбцу.
Отметим, что для определителей порядка 
также верны теоремы замещения и аннулирования.
Определители порядка обладают теми же свойствами, что и определители 2-го и 3-го порядков.
|
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpediasu.com 2017-2026 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
