Понятие матрицы. Виды Матриц.

сij = aij + bij

с_ij = a_ij - b_ij

Примеры задач на сложение и вычитание матриц

Умножение матриц

Определение. Результатом умножения матрицA _m×nи B _n×kбудет матрица C _m×kтакая, что элементматрицы C, стоящий в i -той строке и j -том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы A на соответствующие элементы j -того столбца матрицы B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j +... + a_in · b_nj

Замечание. Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;
• (z · A) · B=z · (A · B), гдеz - число;
• A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;
• E_n· A_nm= A_nm· E_m= A_nm- умножение наединичную матрицу;
• A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.
• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =					и B =					.
		-3

Решение:

С = A · B =

·

=

-3

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

-3     -1

и B =

-1   -3

.

Решение:

C = A · B =

-3     -1

·

-1   -3

=

-2   -15   -18   -4

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Определение. Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:

(a_ij) ^T= a_ji

Определение. Обратная матрица A^{− 1} - матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица для матрицы - го порядка имеет вид:

.