Нахождение значений коэффициентов регрессии

Введение

Математическая теория планирования эксперимента позволяет повысить эффективность экспериментальных исследований. Основы этой теории заложил английский статистик Р. Фишер. Он впервые показал целесообразность одновременного варьирования многими переменными в противовес широко распространённому однофакторному эксперименту.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи.

Факторное планирование экспериментов подразумевает возможность построения аналитической регрессионной модели объекта испытаний. Такое планирование наиболее часто используется при исследованиях систем управления технологическими процессами.

Часто под Факторным планом понимают множество точек факторного пространства с относительными значениями параметров -1 и +1 (то есть рассматриваются всего два уровня факторов: максимальный и минимальный). Такой факторный план включает комбинации из наибольших и наименьших значений каждого из факторов. Он содержит 2m экспериментов (где m — число факторов). Иногда в факторные планы включают центральную точку плана, соответствующую средним абсолютным значениям факторов, то есть рассматривают три уровня факторов.

В данном расчетном задании рассматривается планирование факторного эксперимента с последующим нахождением уравнения регрессии данного эксперимента.

 

 

Планирование факторного эксперимента. Исходные данные

Спланировать факторный эксперимент с N= 10 вариантами и n= 3 откликами системы.

При планировании факторного эксперимента, основываясь на данных значениях расстояния распределения фракций элементов в проводящем составе с обозначением «тип 3». Данные об интервалах и их процентном распределении заносятся в таблицу 1.

Таблица 1 – Распределение экспериментальных значений по интервалам

№	Интервал	Процент в каждом опыте
		27,085
		37,5
		8,333
		4,167
		2,083
		12,5
		2,083
		2,083
		2,083
		2,083
Всего		100%

 

На рисунке 1 представлена диаграмма, построенная по данным таблицы 1.

Рисунок 1 – Диаграмма распределения экспериментальных данных в интервалах

Рассчитывается математическое ожидание по формуле (1):

(1)

где ,

x – интервал,

П – количество экспериментальных данных в каждом интервале,

 

РассчитываетсяM(x), используя данные, приведенные в таблице 1.

Рассчитывается энтропийный интервал по формуле (2):

(2)

где N =100%,

d = 20 – шаг интервала,

П – процентная составляющая каждого интервала.

Рассчитывается ∆ используя данные, приведенные в таблице 1.

Рассчитывается дисперсия среднего значения по формуле (3):

(3)

Результаты расчета дисперсии приведены в таблице 2.

 

 

Таблица 2 – Расчет дисперсии среднего значения

Интервал						Дисперсия
	-90			302,8	17,4	8,7
	-70
	-50
	-30
	-10

 

На рисунке 2, приведена гистограмма, построенная по рассчитанным данным.

На рисунке принято:

А1 = М(х) – ∆ = 3,916;

А2 = М(х) + ∆ = 116,084;

В1 = М(х) –σ = 51,3;

В2 = М(х) + σ = 68,7.

Рисунок 2 – Гистограмма рассчитанных величин

Заключение

 

В данном расчетном задании были изучены основы планирования факторного эксперимента.

Для составления итогового уравнения регрессии данного эксперимента были найдены коэффициенты регрессии, дисперсии среднего значения отклика. Также были определены погрешности найденных коэффициентов регрессии.

По найденным значениям коэффициентам регрессии были сделаны выводы об окончательном виде уравнения регрессии данного эксперимента с учетом доверительной вероятности.

Введение

Математическая теория планирования эксперимента позволяет повысить эффективность экспериментальных исследований. Основы этой теории заложил английский статистик Р. Фишер. Он впервые показал целесообразность одновременного варьирования многими переменными в противовес широко распространённому однофакторному эксперименту.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи.

Факторное планирование экспериментов подразумевает возможность построения аналитической регрессионной модели объекта испытаний. Такое планирование наиболее часто используется при исследованиях систем управления технологическими процессами.

Часто под Факторным планом понимают множество точек факторного пространства с относительными значениями параметров -1 и +1 (то есть рассматриваются всего два уровня факторов: максимальный и минимальный). Такой факторный план включает комбинации из наибольших и наименьших значений каждого из факторов. Он содержит 2m экспериментов (где m — число факторов). Иногда в факторные планы включают центральную точку плана, соответствующую средним абсолютным значениям факторов, то есть рассматривают три уровня факторов.

В данном расчетном задании рассматривается планирование факторного эксперимента с последующим нахождением уравнения регрессии данного эксперимента.

 

 

Планирование факторного эксперимента. Исходные данные

Спланировать факторный эксперимент с N= 10 вариантами и n= 3 откликами системы.

При планировании факторного эксперимента, основываясь на данных значениях расстояния распределения фракций элементов в проводящем составе с обозначением «тип 3». Данные об интервалах и их процентном распределении заносятся в таблицу 1.

Таблица 1 – Распределение экспериментальных значений по интервалам

№	Интервал	Процент в каждом опыте
		27,085
		37,5
		8,333
		4,167
		2,083
		12,5
		2,083
		2,083
		2,083
		2,083
Всего		100%

 

На рисунке 1 представлена диаграмма, построенная по данным таблицы 1.

Рисунок 1 – Диаграмма распределения экспериментальных данных в интервалах

Рассчитывается математическое ожидание по формуле (1):

(1)

где ,

x – интервал,

П – количество экспериментальных данных в каждом интервале,

 

РассчитываетсяM(x), используя данные, приведенные в таблице 1.

Рассчитывается энтропийный интервал по формуле (2):

(2)

где N =100%,

d = 20 – шаг интервала,

П – процентная составляющая каждого интервала.

Рассчитывается ∆ используя данные, приведенные в таблице 1.

Рассчитывается дисперсия среднего значения по формуле (3):

(3)

Результаты расчета дисперсии приведены в таблице 2.

 

 

Таблица 2 – Расчет дисперсии среднего значения

Интервал						Дисперсия
	-90			302,8	17,4	8,7
	-70
	-50
	-30
	-10

 

На рисунке 2, приведена гистограмма, построенная по рассчитанным данным.

На рисунке принято:

А1 = М(х) – ∆ = 3,916;

А2 = М(х) + ∆ = 116,084;

В1 = М(х) –σ = 51,3;

В2 = М(х) + σ = 68,7.

Рисунок 2 – Гистограмма рассчитанных величин

Нахождение значений коэффициентов регрессии

 

Матрица планирования четырехфакторного эксперимента и результаты опытов приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Результаты эксперимента

Вариант	Планирование	Расчет	Выход
x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3	y1	y2	y3	ycреднее
		-1	-1	-1				-1	27,1	37,4	40,2	34,9
			-1	-1	-1	-1			37,5	42,6	47,8	42,6
		-1		-1	-1		-1		8,3	12,2	24,3	14,9
				-1		-1	-1	-1	4,2	5,5	10,7	6,8
		-1	-1			-1	-1		2,1		1,5	1,5
			-1		-1		-1	-1	12,5		15,3	11,3
		-1			-1	-1		-1	2,1	8,6	34,2
									2,1	12,5	7,2	7,3
		-1	-1	-1				-1	2,1	17,7	22,5	14,1
			-1	-1	-1	-1			2,1	7,2	5,4	4,9

 

Находятся значения коэффициентов регрессии по формуле (4):

(4)