Алгоритмы поиска минимального остовного дерева

Минимальным остовным деревом (МОД) связного взвешенного графа называется его связный подграф, состоящий из всех вершин исходного графа и некоторых его ребер, причем сумма весов ребер является минимально возможной. Такое дерево может понадобиться, например, для организации компьютерной сети.

Алгоритм Дейкстры-Прима

Дейкстра и Прим предложили так называемый «жадный» алгоритм построения МОД. «Жадные» алгоритмы действуют, используя в каждый момент часть исходных данных и принимая лучшее решение на основе этой части. В рассматриваемом случае на каждом шаге имеется множество ребер, которые могут быть присоединены к уже построенной части остовного дерева, из них выбирается ребро с наименьшим весом. Вершины графа разбиваются на три класса: вершины, вошедшие в уже построенную часть дерева, вершины, окаймляющие построенную часть, и еще не рассмотренные вершины. Алгоритм начинает работу с произвольной вершины графа, которая включается в остовное дерево. Все вершины, соединенные (соседние) с данной, заносятся в кайму. Затем выполняется цикл поиска ребра с наименьшим весом, соединяющего уже построенную часть остовного дерева с каймой; это ребро вместе с новой вершиной добавляется в дерево и происходит обновление каймы таким образом, чтобы список ребер из дерева в кайму включал ребра с наименьшими весами. После того, как в дерево попадут все вершины, работа будет закончена. Словесный алгоритм приведен ниже:

Шаг 1. Выбрать начальный узел

Шаг 2. Сформировать начальную кайму, состоящую из вершин, соседних с начальным узлом

Шаг 3. В графе есть вершины, не попавшие в дерево?

Если да, то переход на Шаг 4.

Иначе – переход на Шаг 9.

Шаг 4. Выбрать ребро из дерева в кайму с наименьшим весом

Шаг 5. Добавить конец ребра к дереву

Шаг 6. Изменить кайму, для чего добавить в кайму вершины, соседние с новой

Шаг 7. Обновить список ребер из дерева в кайму так, чтобы он состоял из ребер наименьшего веса

Шаг 8. Переход на Шаг 3

Шаг 9. Конец

На Рис. 3.6 изображен исходный граф:

Рис. 3.6. Исходный граф

Рис. 3.7. Добавление первой вершины. Пунктиры ведут к вершинам каймы

Рис. 3.8. Добавление второй и третьей вершин

Рис. 3.9. Добавление четвертой и пятой вершин

Рис. 3.10. Заключительные шаги алгоритма Дейкстры-Прима

Алгоритм Крускала

Другой алгоритм построения МОД предложил Крускал. Алгоритм начинает работу с пустого дерева. К нему добавляются ребра в порядке возрастания их весов до тех пор, пока не будет получен набор ребер, объединяющий все вершины графа. В процессе выполнения необходимо не допускать добавление ребер, приводящих к появлению цикла в создаваемом дереве. Если ребра закончатся до того, как все вершины будут соединены между собой, это означает, что граф был несвязным, и полученный результат представляет собой объединение МОД всех его компонент связности. Пример алгоритма приведен ниже:

1. Отсортировать ребра в порядке возрастания весов

2. Инициализировать структуру разбиений

edgeCount=l

while edgeCount<=E and includedCount<=N-l do

parentl=FindRoot(edge[edgeCount].start)

parent2=FindRoot(edge[edgeCount].end)

if parentl/=parent2 then

добавить edge[edgeCount] в остовное дерево

includedCount=includedCount+l

Union(parent1,parent2)

end if

edgeCount=edgeCount+l

end while

 

Для иллюстрации действия алгоритма будем использовать граф, приведенный на Рис. 3.6.

Рис. 3.11. Добавление первого ребра

Рис. 3.12. Добавление второго и третьего ребра

Рис. 3.13. Добавление четвертого и пятого ребер

Рис. 3.14. Заключительные шаги алгоритма Крускала