Связь дифференцируемости с существованием конечной производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

(связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f (x) дифференцируема в точке x Î D (f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом f ' (x) = A.

(связь непрерывности и дифференцируемости функции)

если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале.

Основные правила дифференцирования: производная постоянной, суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функций.

Производная обратной функции:

4. Геометрический смысл (а) бесконечной производной; (б) односторонних производных.

Геометрический смысл бесконечной производной состоит в следующем: если производная f '(x0)= ¥ то касательная к графику функции f(x) в точке x0 параллельна оси Oy и описывается уравнением х=х0

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси .

Механический смысл первой и второй производной

6. Правила вычисления дифференциала суммы, произведения и частного двух функций.

7. Свойство инвариантности первого дифференциала

Дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной - независимо от того, является ли эта переменная, в свою очередь, функцией другой переменной или она является независимой переменной.

8. Формулы для вычисления дифференциалов высших порядков

Теорема Ферма

10. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Геометрическая интерпретация теорем Ролля и Лагранжа.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

 

Теорема Коши

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g (x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

11.Правило Лопиталя

12. Сравнение роста показательной,степенной и логарифмической функций.

при (логарифмическая функция)= о(), (степенная функция)=о() (), т.е. при ББ функция (показательная) имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции и ; ББ функция имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция

13 (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функцияy=f(x) –n– раз дифференцируема в точке х₀f(x)=T_n(x₀);f’(x₀)=T_n’(x₀),…,f⁽ⁿ⁾(x₀)=T_n⁽ⁿ⁾(x₀)

Связь дифференцируемости с существованием конечной производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

(связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f (x) дифференцируема в точке x Î D (f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом f ' (x) = A.

(связь непрерывности и дифференцируемости функции)

если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале.