основных элементарных функций

1. , x Î R.

2. , x Î R

3. , x Î R

4. , x Î (−1;1].

5.

, x Î (−1;1).

Пример 9. Разложить функцию f (x) = x ³+ 2 x – 5 по степеням x – 1.

3Воспользуемся формулой (21), в которой надо взять x ₀= 1, n = 3 (n – степень многочлена). Вычислим f (1), f ^/(1), f ^//(1), f ^///(1) и полученные числа подставим в формулу (21).

f (1) = –2,

f ^/(x) = 3 x ²+2, f ^/(1) = 5,

f ^//(x) = 6 x, f ^//(1) = 6,

f ^///(x) = 6.

После подстановки в (21), в которой вместо x – x ₀надо писать x – 1, окончательно получим x ³+ 2 x – 5 = –2 + 5(x – 1) +3(x – 1)²+ (x – 1)³.4

Пример 10. Разложить функцию в ряд по степеням x.

3По формуле суммы геометрической прогрессии

. (36)

Ряд сходится при | x | < 1.4

Пример 11. Разложить в ряд по степеням (x + 3) функцию ln(2 – 5 x).

3Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции:

.

Воспользуемся разложением (34) для функции ln(1 + t) и положим . Так как разложение (34) имеет место при x Î (–1;1], то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, ,

, т.е. ряд сходится при .4

При разложении в ряд Тейлора часто используют почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arctg x.

3Найдем производную f (x), получим

.

Заменив в формуле (36) x на x ², получим

для x Î (–1;1).

Интегрируя этот ряд почленно, получаем

.

Так как при почленном интегрировании интервал сходимости сохраняется, то для любого x Î (–1;1].4

 

Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов.

227. .	228. .
229. .	230. .
231. .	232. .
233. .	234. .
235. .	236. .
237. .	238. .
239. .	240. .
241. .	242. .

Разложить функции в ряд по степеням и определить области сходимости полученных рядов.

243. .

244. .

245. Разложить в ряд Маклорена функцию и из полученного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции .

9.246. Разложить в ряд Маклорена функцию и из полученного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции .

Задачи повышенной сложности

Разложить функции в ряд по степеням и определить области сходимости полученных рядов.

247. .	248. .
249. .	250. .
251. .	252. .
253. .	254. .
9.255. .	256. .

Используя возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

257. .

258. .

 

6.3. Применение степенных рядов

1) Приближенное вычисление значений функции.

Если функция f (x) в интервале (x ₀– R; x ₀+ R) разлагается в степенной ряд , то в качестве приближенного значения функции f (x) в точке x Î (x ₀– R; x ₀+ R) можно взять частичную сумму этого ряда: . Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

.

Оценивать остаток ряда можно различными способами. Можно использовать представление остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши или интегральной (см. гл. 4 §3). Можно, кроме того, строить для ряда числовую мажоранту, сумму которой несложно вычислить. В отдельных случаях можно применять признак Лейбница: если степенной ряд в некоторой точке x удовлетворяет признаку Лейбница, то

.

Пример 13. Вычислить число e с точностью до 0,001.

3Подставив x = 1 в формулу (12), имеем .

Оценим остаток

.

Следовательно, равенство имеет абсолютную погрешность, равную . Найдем n, для которого или n! n > 1000. Получаем n ³ 6. Вычисляя и округляя, находим ответ с требуемой точностью e» 2,718.4

 

259. Определить, сколько нужно взять членов в разложении функции , чтобы вычислить с точностью до .

260. Определить, сколько нужно взять членов ряда в разложении функции , чтобы вычислить с точностью до .

Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до :

261. .	262. .
263. .	264. .

Задачи повышенной сложности

Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до :

265. .	266. .
267. .	268.

 

 

2) Приближенное вычисление определенных интегралов.

Разлагая подынтегральную функцию f (t) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить интеграл в виде степенного ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении из интервала сходимости полученного ряда.

Пример 14. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x.

3Используя разложение , получим на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим

.4

Пример 15. Вычислить с точностью до 0,001.

3Известно, что первообразная для функции не выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя разложение (31):

Подставляя вместо y x ², получаем

Тогда

Интегрируя обе части этого равенства, получим:

Получили знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. Так как , а , то с точностью до 0,001 имеем

.

 

Разложить указанные функции в степенные ряды по степеням :

269. .	270. .
9.271.	9.272.

Вычислить интегралы с точностью до :

273.	274.
275. .	276. .
277. .	278.

3) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано, что решение y (x) представимо в виде степенного ряда

, (18)

коэффициенты которого можно определить с учетом заданного уравнения различными способами.

а) Способ последовательного дифференцирования.

Пусть требуется найти решение уравнения y ^//= f (x, y, y ^/), удовлетворяющее условиям y (x ₀) = y ₀, y ^/(x ₀) = y ₁, причем функция f (x, y, y ^/) в точке (x ₀, y ₀, y ₁) имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты y ^{( k )}(x ₀) ряда (18) определяются путем последовательного дифференцирования исходного уравнения и подстановки в него x ₀и найденных уже значений y ^/(x ₀), y ^//(x ₀),…

Пример 16. Найти решение уравнения y ^//= x ² y, удовлетворяющее условиям y (0) = 0, y ^/(0) = 1.

3Имеем y (0) = 0, y ^/(0) = 1, из заданного уравнения найдем y ^//(0) = 0. Далее, дифференцируя уравнение, имеем

y ^///= x ² y ^/+ 2 xy,

y ⁽⁴⁾= x ² y ^//+ 4 x y ^/+ 2 y,

y ⁽⁵⁾= x ² y ^///+ 6 x y ^//+ 6 y ^/,

…

y ^{( k +2)}= x ² y ^{( k )}+ 2 kxy ^{( k –1)}+ k (k – 1) y ^{( k –2)},

…

и при x = 0 получаем отсюда

y ^{( k +2)}(0) = k (k – 1) y ^{( k –2)}(0), k = 2,3,…

Так как y (0) = y ^//(0) = y ^///(0) = 0 и y ^/(0) = 1, то

y ^{(4 n )}(0) = y ^{(4 n +2)}(0) = y ^{(4 n +3)}(0) = 0

и

y ^{(4 n +5)}(0) = (4 n + 2)(4 n + 3) y ^{(4 n +1)}(0) = 2 × 3 × 6 × 7…(4 n + 2)(4 n + 3), n Î N.

Следовательно,

.

По признаку Даламбера полученный ряд сходится для любых x Î R, а определяемая этим рядом функция y (x) является решением заданного уравнения при любых x. 4

б) Способ неопределенных коэффициентов.

Если исходное дифференциальное уравнение линейно относительно искомой функции и ее производных, причем коэффициент при старшей производной в точке x ₀отличен от нуля, то решение следует искать в виде ряда (18) с неопределенным коэффициентами a_k, k = 0,1,…

Пример 17. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения

y ^//– xy ^/+ y = 1, удовлетворяющее условиям y (0) = y ^/(0) = 0.

3Ищем решение в виде ряда , в котором в силу условий y (0) = y ^/(0) = 0 имеем a ₀= a ₁= 0. Следовательно, . Подставив это выражение в уравнение, получаем

.

Отсюда находим, что 2 × 1 × a ₂= 1, т.е. , и (k + 1)(k + 2) a_{k +2}= =(k – 1) a_k для k = 1, 2,… Так как a ₁= 0, то a _{2 m +1}= 0 для всех m = 0, 1,…, а для k = 2 m, m = 1, 2,…, получаем рекуррентную формулу

,

из которой выводим равенства

.

Следовательно, искомое решение имеет вид

,

причем полученный ряд сходится при всех x Î R.4

 

Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:

279. .

9.280. .

Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд:

281. .

282. .

Найти решение уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:

283. .

284. .

285. .

286. .

 

РЯДЫ ФУРЬЕ

Ряды Фурье

 

7.1. Тригонометрические ряды. Ортогональность тригонометрической системы

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

(1)

где числа a ₀,… a_n, b_n (n = 1,2,…) называются коэффициен­тами ряда.

Теорема. Тригонометрическая система функций

1, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x,…, cos nx, sin nx (2)

является ортогональной на отрезке [–p; p], т.е. интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [–p; p] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Доказательство. Действительно, для любых целых k, n ¹ 0 (k ¹ n) имеем:

, , (3)

. (4)

Аналогично

и . (5)

Наконец, ,

, (6)

. ■

 

7.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

Теорема. Если функция f (x), интегрируемая на отрезке [–p; p], разлагается в тригонометрический ряд

, (7)

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.

Доказательство. Интегрируя (7), получим:

,

откуда, учитывая (3), находим:

(8)

Для определения коэффициента a_n при cos nx умножим равенство (7) (в котором предварительно переобозначим индекс суммирования n на k) на cos nx. Получим

. (9)

Т.к. каждый член этого ряда по абсолютной величине не превышает соответствующих членов ряда (7), то этот ряд тоже можно почленно интегрировать. Проинтегрируем соотношение (9) по х от –p до p. Учитывая формулы (3) – (6), получим:

, откуда

(10)

Аналогично, умножая равенство (7) на sin nx и интегрируя в пределах от –p до p, на основании тех же формул получаем

, откуда находим

(11)

Таким образом, коэффициенты a ₀, a_n, b_n ряда (7) определяются по формулам (8), (10), (11) единственным образом. Теорема доказана. ■

Определение. Пусть f (x) интегрируемая на отрезке [–p; p] функция. Тогда числа a ₀, a_n, b_n, найденные по формулам (8), (10), (11), называются коэффициентами Фурье функции f (x). Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам (8), (10), (11), называется рядом Фурье функции f (x).

Для интегрируемой на отрезке [–p; p] функции f (x) записывают

и говорят: функции f (x) соответствует (поставлен в соответствие) её ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то знак соответствия заменяется знаком равенства.

 

7.3. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье (признак Дирихле)

Определение. Функция f (x) называется кусочно-монотонной наотрезке [ a, b ], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x ₁, x ₂,…, x_{n –1}на интервалы (a, x ₁), (x ₁, x ₂),…, (x_{n –1}, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна.

Заметим, что если функция f (x) кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [ a, b ], то она может иметь точки разрыва только первого рода.

Теорема (Признак Дирихле). Если 2p периодическая функция f (x) является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке [–p; p], то её ряд Фурье сходится во всех точках. Сумма этого ряда равна значению функции f (x) в точках непрерывности функции и значению в точках разрыва.

 

7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

1) Пусть функция f (x) определена на отрезке [–p; p]. Если функция четная, т.е. f (– x) = f (x), то её ряд Фурье имеет вид

, (12)

где , , n Î N,

а коэффициенты Фурье b_n = 0.

Действительно,

.

В первом интеграле в квадратных скобках сделаем замену переменной x = – t. Тогда dx = – dt, а пределы интегрирования станут от p до 0. Принимая во внимание, что функция f (x) – четная, а функция sin x – нечетная, получаем

.

Следовательно, .

Аналогично, учитывая, что функции f (x) и cos х четные, можно получить записанные выше выражения для коэффициентов а_n.

2) Пусть теперь функция f (x), определенная на отрезке [–p; p], нечетная, т.е. f (– x) = – f (x) то её ряд Фурье имеет вид

где , n Î N, (13)

а коэффициенты Фурье а_n = 0.

Рассуждения здесь такие же, как и в случае 1).

Таким образом, если функция f (x) четная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечетная, то только синусы.

y

x

p

–p

2p

–2p

–1

Пример 1. Разложить ряд Фурье функцию f (x) = sign x, –p < x < p и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница .

3Продолжая периодически функцию f (x) на всю вещественную ось, получим функцию , график которой изображен на рисунке. Эта функция 2p-периодическая, кусочно-монотонная и ограниченная, значит, согласно признаку Дирихле она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье функции f (x). Так как функция нечетная, то a_n = 0, n = 0,1,…, а коэффициенты b_n находится по формуле (13):

где m Î N. Следовательно, при –p < x < p

,

откуда при получаем , т.е. .

Отметим, что вне интервала (–p; p) полученный ряд сходится к функции : в точках непрерывности функции ряд Фурье будет сходиться к значению функции в этой точке, а в точках разрыва x = p n, где n Î Z, функция не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.4

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x ²на отрезке [–p; p].

y

x

p

–p

3p

–3p

3Продолжая периодически функцию f (x) на всю вещественную ось, получим функцию , график кото­рой изображен на рисунке. Эта функция 2p-периодическая, непрерывная и огра­ниченная, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она четная, то её коэффициенты Фурье b_n = 0, а a_n находится по формулам (11):

,

.

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

.

Это разложение справедливо для любого x Î [–p; p], так как в данном случае в точках x = ±p сумма ряда совпадает со значениями функции f (x) = x ², поскольку .

В силу непрерывности функции для всех значений х Î R ее ряд Фурье в любой точке будет сходиться к значению функции в этой точке.4

 

7.5. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Пусть теперь функция f (x) является периодической с произвольным периодом 2 l, l ¹ 0. Отметим, что признак Дирихле, сформулированный в п. 7.4, для 2p-периодических функций, справедлив и для функций с произ­вольным периодом.

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [– l; l ] (где l > 0). Тогда ряд Фурье функции f (x) имеет вид

, (14)

где

,

Если функция f (x), кроме того, непрерывна, то

.

Для доказательства (14) сделаем замену переменной . Тогда функция будет периодической функцией аргумента t с периодом 2p, так как

,

и ее можно разложить на отрезке [–p; p] в ряд Фурье

,

где

Возвращаясь к переменной х, т.е. положив , , получим ряд (14) с соответствующими коэффициентами.

Пример 3. На отрезке [–3; 3] найти тригонометрический ряд Фурье функции f (x) = | x |.

y

x

–6

3 Продолжая периодически функцию f (x) на всю вещественную ось, получим функцию , график кото­рой изображен на рисунке. Эта функция периодическая с периодом 2 l = 6, непрерывная и ограниченная, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Кроме того, функция f (x) = | x | – четная, следовательно, все коэффициенты Фурье b_n = 0, а коэффициенты а_n вычисляются следующим образом:

,

Тогда ряд Фурье функции f (x) на отрезке [–3; 3] имеет вид:

.

Так как функция удовлетворяет условиям признака Дирихле, то ряд Фурье этой функции во всех точках сходится к значению функции.4

 

287. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена совпадает с этим многочленом.

288. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена совпадает с этим многочленом.

289. Найти коэффициент Фурье функции .

9.290. Найти коэффициент Фурье функции .

291. Разложить в ряд Фурье функцию .

292. Разложить в ряд Фурье функцию .

293. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции , .

294. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции , .

295. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 3 функции

296. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 2 функции

297. Доказать, что если f(x) имеет период , то при любом .

298. Записать выражение коэффициентов Фурье (28) - (30) для четной и нечетной функций на .

Разложить - периодичную функцию в ряд Фурье и найти значение суммы полученного ряда в заданной точке .

299. .

300. .

301. Разложить в ряд Фурье функцию в промежутке и построить график суммы ряда Фурье этой функции.

302. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале и построить график суммы ряда Фурье этой функции.

Разложить в ряд Фурье следующие функции периода :

303. .

304. .

305. .

306. .

307. .

308. .

309. Разложить в ряд Фурье в интервале функцию

310. Разложить в ряд Фурье в интервале функцию

311. Доказать равенство , используя разложение в ряд Фурье функции

312. Доказать равенство , используя разложение в ряд Фурье функции , .

313. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 9.304, найти сумму ряда .

314. Используя разложение функции в ряд Фурье, найти сумму ряда .

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Том 1. – М.: Наука, 2010.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1. – М.: Высшая школа, 1981.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.

4. Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1. – M.: Наука, 1990.

5. Власова Е. А. Ряды. Том IX. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2000.

6. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2010.

7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. – М.: Наука, 2010.

 

8. Беляева, М.А. Ряды. Методические указания к практическим занятиям и к выполнению расчетного задания / М.А.Беляева, А.Г.Мясников, Т.А.Мацеевич. М.: Изд-во МГСУ, 2003.

9. Титова, Т.Н. Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие / Т.Н.Титова, Т.А.Мацеевич, Е.Е. Ассеева и др. М.: Изд-во НИУ МГСУ, 2017. 128 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

 

Б

Бином Ньютона, 62

И

Интервал сходимости степенного ряда, 46

К

Коэффициенты

степенного ряда, 43

тригонометрического ряда, 70

Фурье, 72

Критерий Коши сходимости ряда, 9

Круг сходимости степенного ряда, 46

Н

Необходимое условие сходимости, 7

О

Область

абсолютной сходимости функционального ряда, 33

сходимости функционального ряда, 33

Остаток

ряда, 9

функционального ряда, 33

П

Признак

Даламбера, 16

Дирихле, 73

Коши, 18

Коши интегральный, 20

Лейбница, 26

равномерной сходимости функционального ряда Вейерштрасса, 36

сравнения, 11

сравнения предельный, 14

Р

Радиус сходимости степенного ряда, 46

Ряд

абсолютно сходящийся, 25

биномиальный, 62

гармонический, 9

Дирихле, 23

знакопеременный, 24

знакочередующийся, 26

из членов геометрической прогрессии, 5

мажорируемый, 35

мажорирующий, 36

Маклорена, 54

расходящийся, 5

с неотрицательными членами, 11

степенной, 43

сходящийся, 5

Тейлора, 54

тригонометрический, 70

условно сходящийся, 28

функциональный, 32

функциональный равномерно сходящийся, 35

Фурье, 72

числовой действительный, 5

числовой комплексный, 5

Ряды

применение степенных рядов, 64

С

Свойства сходящихся рядов, 9

Сумма

ряда, 5

функционального ряда, 33

частичная, 5

Сходимость

абсолютная функционального ряда, 32

функционального ряда в точке, 32

функционального ряда на множестве, 32

Т

Теорема

Абеля, 44

достаточное условие разложимости в ряд Тейлора, 57

достаточное условие сходимости знакопеременного ряда, 24

необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора, 56

о дифференцировании степенных рядов, 53

о единственности разложения функции в степенной ряд, 55

о непрерывности суммы ряда, 38

о почленном дифференцировании ряда, 41

о почленном интегрировании ряда, 39

об интегрировании степенных рядов, 52

Римана, 29

Тригонометрическая система функций, 70

Ф

Функция

кусочно-монотонная, 73

Ц

Центр степенного ряда, 43

Ч

Член

функционального ряда, 32

 

ОТВЕТЫ

 

 

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7.