Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если и строго возрастает на , то на определена функция , которая будет обратная к , непрерывна на и будет строго возрастать на .

Если и строго убывает на , то на определена функция , которая будет обратная к , непрерывна на и будет строго убывать на .

Доказательство:

Предположим, что функция строго возрастает на отрезке .
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений непрерывной функции тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции для каждого существует единственная точка такая, что .
Следовательно для функции существует обратная функция определенная на отрезке и с множеством значений .

Покажем, что строго возрастает на .

Пусть и – две произвольные точки из , такие, что и прообразами этих точек будут точки и . и .

Поскольку – строго возрастающая функция, то неравенство возможно тогда и только тогда, когда или, что то же самое, когда .

В силу произвольности делаем вывод, что функция – строго возрастает на множестве .

Для случая, когда строго убывает теорема доказывается аналогично.

Билет №20. Непрерывность основных элементарных ф-й.

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени , т. е. функцию вида

Эта функция непрерывна на

Рациональная функция, т. е. функция вида где — многочлены степени и соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена

Утверждение 2

Если и то

Следствие

Первый замечательный предел

Утверждение 3

Для всех справедливо неравенство

Утверждение 4

Функции и непрерывны на всем множестве

Следствие

Функция – непрерывная при

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

1. строго возрастает и непрерывна

2. строго спадает и непрерывна

3. строго возрастает и непрерывна

4. строго спадает и непрерывна

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

1.

2.

3.

4.

Утверждение 6

Функция – монотонна непрерывна на то есть

и тогда функция – монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на , причем — нечетная функция, а – четная функция.

Из определения функций и следует, что

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой Обе функции нечетные.

Утверждение 8

Пусть функции и определены на промежутке причем для всех выполняется условие Тогда функцию определяемую формулой

будем называть показательно-степенной и обозначать

Таким образом, исходя из определения

Если — функции, непрерывные на то функция непрерывна на как суперпозиция непрерывных функций и .

Билет №21. Обратные тригонометрические функции и их свойства.

Функция arcsin

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

· при

· при

· (область определения),

· (область значений).

 

]Свойства функции arcsin

· (функция является нечётной).

· при .

· при

· при

·

·

·

 

Функция arccos

График функции .

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

· при

· при

· (область определения),

· (область значений).

[править]Свойства функции arccos

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

· при

· при

·

·

·

·

·

 

Функция arctg

График функции .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

· при

· при

·

·

Свойства функции arctg

·

 

· , при x > 0.

 

· , при x > 0.

 

Функция arcctg

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

· при

· при

·

·

]Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

 

Билет №22. Гиперболические ф-и и их сво-ва.

Билет №23. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Ур-е касательной и нормали к гр ф-и. односторонние и бесконечные производные.

 

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :