Ортогональные системы функций

Две функции f и g называются ортогональными на отрезке [a, b], если

Если f(x) ≡ 0, то это равенство выполняется для каждой функции g(x). Другими словами, функция f(x) ≡ 0 ортогональна ко всем функциям g(x). В силу известного неравенства Буняковского для интегралов
из условия
следует, что

Следовательно, функция f, для которой
играет роль нулевой функции f(x) ≡ 0. Поэтому такая функция тоже считается нулевой. В противном случае, когда
функция f по определению считается ненулевой. Очевидно, что нулевая функция не является единственной. Действительно, если изменить значение функции в одной точке, то по-прежнему будем иметь, что

Система ненулевых функций {φ0, φ1, φ2,...} (конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке [a, b], если на этом отрезке ортогональны любые две функции этой системы, то есть

Если интеграл
то функция f называется нормированной на [a, b].

Если все функции ортогональной системы {ψ_i} нормированы, то такая система { ψ_i } называется ортонормированной, то есть

Тригонометрический ряд и ряд Фурье функции

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа а₀, а_n, b_n (n=1,2…) называются коэффициентами ряда, где ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).

Теорема Дирихле о достаточных условиях разложения функции в ряд Фурье

Пусть 2 -периодичсекая функция f(x) на отрезке[- ] удовлетворяет двум условиям:

1. f(x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число разрывов I рода;

2. f(x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: f(x)=S(x);

2. В каждой точке х₀ разрыва функции сумма ряда равна

то есть равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева;

3. В точках х=-π и х=π (на концах отрезка) сумма ряда равна

Разложение в ряд Фурье 2 -периодических функций

Пусть функция f (x) имеет период 2 π и раскладывается в ряд Фурье:

Вычислить коэффициенты a ₀, a_n и b_n.

Решение:

Чтобы найти a_n, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [ −π, π ]:

Для всех n > 0 справедливо

Поэтому, все члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что приводит к соотношению

Чтобы определить коэффициенты a_n при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно:

Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать

если m≠n.

В случае, если m = n, получаем

 

Таким образом,

Аналогично, умножая ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для b_m:

Переписывая формулы для a_n, b_n, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье: