Модель М/М/1 или классическая СМО

Предположим, что мы имеем одноканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и неограниченной очередью. Пусть интенсивность входящего потока заявок равна l, а длительность обслуживания одной заявки – случайная величина с математическим ожиданием .

Как было сказано выше, наряду с понятием средней длительности обслуживания мы будем использовать понятие интенсивности обслуживания – величину, обратную и характеризующую число заявок, которое может обслужить прибор в единицу времени.

В этом случае, как уже говорилось, можно считать, что навстречу потоку заявок (требований), входящих в систему, движется поток обслуженных заявок (требований), исходящих из системы.

Поток обслуженных заявок также будем считать простейшим потоком (с интенсивностью m). В теории массового обслуживания принята символика Кендалла, впоследствии усовершенствованная рядом авторов [4]. В соответствии с этой символикой рассматриваемая система массового обслуживания условно обозначается как М/М/1. В этой символике первые два символа описывают распределение промежутков времени между двумя последовательными требованиями во входящем потоке и распределение времени их обслуживания, то есть являются символами соответственно входящего и исходящего потоков заявок. В данном случае буква М (от markovian – марковский) является символом простейшего потока, обладающего марковским свойством (свойством отсутствия последействия). Третий символ в аббревиатуре Кендалла обозначает число обслуживающих приборов. Очевидно, что в данном случае это единица.

Выделив состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (0, 1, 2 и так далее), мы получим процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, граф состояний которого изображен на рис. 5 – уже знакомый нам процесс гибели и размножения. Применим общие формулы (1.5.4), (1.5.5) для расчета вероятностей стационарных состояний в этом конкретном случае.

Обозначим (стандартное обозначение теории массового обслуживания, иногда эту величину называют приведенной интенсивностью входящего потока заявок, она показывает, сколько в среднем заявок поступает в систему за среднее время обслуживания этой системой одной заявки). Тогда, очевидно, формулы (1.5.4) дают

; ;

и так далее, так что общая формула для имеет вид

, k = 1, 2,…,

откуда с использованием условия нормировки (1.5.5) имеем

.

Очевидно, что при ряд в знаменателе этого выражения расходится, и в этом случае число ожидающих обслуживания требований будет возрастать бесконечно. Стационарный режим (стационарное состояние) классической СМО устанавливается, таким образом, только в том случае, если . В противном же случае , значит, и все

также стремятся к нулю. Если же , то ряд в знаменателе этих формул представляет собой обычную геометрическую прогрессию, сумма которой согласно (П.3), так что

, (2.1.1)

и тогда

. (2.1.2)

Последнее выражение представляет собой так называемое геометрическое распределение, хорошо известное в математической статистике.

Заметим также, что в приведенном выводе формул (2.1.1), (2.1.2) никак не участвовало начальное число i требований, находящихся в системе. Отсюда следует, что при сделанных предположениях установившийся режим классической СМО (когда он существует) не зависит от начальных условий.