Модель М/М/m/0/N или модель Энгсета

 

Модель системы массового обслуживания, представленную в настоящем разделе, можно назвать замкнутой версией модели Эрланга. Соответствующий граф состояний имеет вид, изображенный на

рис. 12. Мы будем предполагать, что , в этом случае требова-ноя, поступившие в систему тогда, когда в ней уже имеется требований, теряются и немедленно возвращаются обратно в источник, то есть в группу поступающих так, как будто бы они были полностью обслужены, в итоге очередь в системе отсутствует. В символике Кендалла данная СМО имеет очевидное обозначение М/М/m//0. Очевидно, что для этой модели .

 

 

 

 

Решение уравнений Колмогорова для этого случая имеет вид, очевидно,

,

(распределение Энгсета).

 

Числовые характеристики установившегося режима

Вероятность отказа в данном случае находятся из соотношения

,

откуда следует

. (3.3.1)

Вероятность обслуживания

, (3.3.2)

относительная пропускная способность, как всегда, . Абсолютная пропускная способность в этом случае, очевидно,

.

Приведем еще один, более строгий, а иногда и более удобный, вывод этого же соотношения:

 

. (3.3.3)

Заметим, что для открытых систем массового обслуживания с потерями const, формула (3.3.3) переходит в решение , согласно результатам, полученным в § 2.3.

Среднее число требований, одновременно находящихся под обслуживанием (среднее число занятых линий),

 

. (3.3.4)

 

Этот же результат можно получить и непосредственно из формулы (3.3.3), поскольку

.

Отсюда

. (3.3.5)

При этом, очевидно,

;

.

Как и следовало ожидать, при соотношение (3.3.5) переходит в (3.2.3), а формула (3.3.3) – в зависимость . При имеем , . С помощью полученных соотношений легко проверить справедливость формул (3.3.1) и (3.3.2):

.

Для формулы второго нулевого момента имеем

 

,

откуда

,

и тогда второй центральный момент

. (3.3.6)

При в соответствии с результатом (3.2.6). Заметим, что формулу (3.3.6) можно получить, конечно, и по алгоритму, представленному в § 3.2. В этом случае , и тогда параметр , так что

 

.

Зависимость (3.3.6) получается из этой формулы простой подстановкой во второй сомножитель последнего слагаемого соотношения (3.3.5).

Среднее время обслуживания требования одним каналом (), дисперсия времени обслуживания .

Сводка формул

; ;

; ;

; ;

; ;

; ; ; ;

.

 

Модель М/М/m/Е/N

Рассматриваемая в этом разделе система массового обслуживания является наиболее общей по отношению к трем изученным выше вариантам замкнутых СМО и при соответствующем выборе ее пара-

метров может быть сведена к любому из них. Предположим, что в системе имеется конечное число требований, m обслуживающих приборов (каналов) и, кроме того, конечное число мест для ожидания, что общее число требований в очереди не может превышать E. Предположим также, что , при этом все требования, поступающие в систему тогда, когда в ней уже имеется заявок, теряются и немедленно возвращаются в группу поступающих так, как будто бы они были полностью обслужены (на языке символики Кендалла – это система М/М/m/E/N). Граф состояний такой СМО имеет вид, изображенный на рис. 13. При эта модель переходит в модель зам-кнутой многоканальной СМО, рассмотренную в § 3.2, а при в модель Энгсета.

Решение уравнений Колмогорова в данном случае вполне аналогично тому, которое было получено в § 3.2 для модели М/М/m//N, так что запишем сразу его конечный результат, которым является связка формул

при ;

при

.