Определители 2-го и 3-го порядка и их основные свойства.

Например, нельзя перемножать две матрицы

и В =

Матрицы умножаются специальным правилом, например,

В общем случае АВ не равно ВА, но если это равенство выполняется, то матрицыА и В называются коммутирующими друг другу.

Матрица А^-1 называется обратной матрицей А, если выполняются соотношения:

Выполняются следующие свойства:

(А + В) + С = А + (В + С)

(A^-1)^-1 = A

(А В) С = А (В С)

(А В)^-1 =B^-1 A^-1

3. Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.

Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают:

1. Вычеркивание 0-го ряда;

2. Замена местами любых двух параллельных рядов;

3. Умножение на ненулевое число.

4. Транспонирование.

5. Умножение любого ряда на число.

6. Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному) виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.

Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.

1. Меняем местами 1-ю и 2-ю строки, тогда

2. (-2) умножили на первую строку и прибавили ко 2-й строке; затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.

3. затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.

4. Вторую строку умножили на (-17/5) и прибавили к 3-ей.

Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Примеры:

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:

.

Примеры: Вычислить определитель матрицы

.

Решение:

.

Система трех линейных неоднородных алгебраических уравнений: определение и метод Крамера решения. Пример.

К такой относится система вида

Здесь

Если хотя бы один свободный коэффициент не равен 0, то система называется неоднородной, если же – однородной. Однородная система обозначается символом и всегда имеет решение (хотя бы нулевое).

Неоднородная система совместна, т.е. имеет решение (причем единственное), если определитель основной матрицы не равен 0.

I. Крамер – метод решения системы.

Он заключается в использовании для записи решения формул где

заменой соответственно первого, второго и 3-го столбцов и свободных коэффициентов.

Ответ:

Например, разрешим систему:

Ответ:

Сложение векторов

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника).

Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

При сложении векторов выполняется переместительныйзакон, т.е. + = +

и сочетательныйзакон, т.е. ( + )+ = +( + )

Вычитание векторов

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|⋅| |, причем векторы сонаправлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.

Обозначение

Вектора и коллинеарны для любого k. Если два вектора и коллинеарны – то существует такое число k, что =k .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов и и чисел k и l справедливы следующие законы:

Сочетательный: (kl)a→=k(l )

Первый распределительный: k( + )=k +k

Второй распределительный: (k+l) =k +l

Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длины векторов. Примеры.

Единичные векторы выходящие из начала координат в положительных направлениях осей OX, OY и OZ называются ортами этих осей.

Условие ортогональности векторов. Два вектора и ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. · = 0

Условия коллинеарности

Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Условия компланарности векторов

Ø Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Ø Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Ø Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

(НУЖНЫ ПРИМЕРЫ)

Условия коллинеарности

Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Канон – от греч.в переводе означает типовое, образцовое.

Любой вектор лежащий на прямой l либо на прямой, называется направляющим вектором l.

Рассматривается прямая l.

Пусть фиксированная точка на прямой. М – текущая точка, т.е. произвольная.

 

 

 

Тогда векторы коллинеарны, а значит их соответствующие координаты должны быть пропорциональны.

 

Если , то

Если , то аналогично

 

Матрицы и основные действия над ними. Пример умножения двух матриц.

I. Сложение. Матрицы можно сложить, если у них одинаковые порядки. Если матрица и матрица , то

Например, нельзя перемножать две матрицы

и В =

Матрицы умножаются специальным правилом, например,

В общем случае АВ не равно ВА, но если это равенство выполняется, то матрицыА и В называются коммутирующими друг другу.

Матрица А^-1 называется обратной матрицей А, если выполняются соотношения:

Выполняются следующие свойства:

(А + В) + С = А + (В + С)

(A^-1)^-1 = A

(А В) С = А (В С)

(А В)^-1 =B^-1 A^-1

3. Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.

Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают:

1. Вычеркивание 0-го ряда;

2. Замена местами любых двух параллельных рядов;

3. Умножение на ненулевое число.

4. Транспонирование.

5. Умножение любого ряда на число.

6. Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному) виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.

Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.

1. Меняем местами 1-ю и 2-ю строки, тогда

2. (-2) умножили на первую строку и прибавили ко 2-й строке; затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.

3. затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.

4. Вторую строку умножили на (-17/5) и прибавили к 3-ей.

Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Примеры:

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:

.

Примеры: Вычислить определитель матрицы

.

Решение:

.

Определители 2-го и 3-го порядка и их основные свойства.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Пример. Вычислить определитель матрицы . Р е ш е н и е. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:

.

Основные свойства определителей:

1. Если любой ряд состоит из 0, то определитель равен 0.

2. Если любые 2 параллельных ряда одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.

3. Если поменять местами любые 2 параллельных ряда, то определитель изменит знак.

4. Определитель не изменится при транспортировании.

5. Общий множитель любого ряда можно вынести за знак

6. К любому ряду можно прибавить параллельный ряд, умноженный на ненулевое число, причем определитель не изменится.

7. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки и столбца, примеры. Понятие ранга матрицы.

Минором элемента матрицы А = называется определитель, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается .