Логарифмическая термодинамическая

Шкала температуры

Второй закон термодинамики позволяет установить температурную шкалу, не зависящую от термометрических свойств вещества. Запишем КПД цикла Карно:

или

,

где и – температуры высокотемпературного и низкотемпературного источников.

Пусть имеются три источника тепла с температурами .

Рисунок 6.4 К выводу термодинамической шкалы температур

Возьмем три идеальные машины работающие по циклу Карно и осуществляющие между имеющимися источниками тепла три цикла Карно, как показано на рисунке 6.4. Составим для каждого из циклов соответствующие соотношения:

 

, , .

Циклы I и II образуют совокупную машину Карно, работающую в интервале температур и . Запишем термические КПД циклов Карно для совокупной машины I-II и машины III

; .

Поскольку машина III и составная машина I-II работают в одном интервале температур, то их КПД равны и их тепловые эффекты тоже одинаковы, следовательно, .

Разделим отношения теплот третьей и второй машины:

; .

Ранее было показано, что . Это возможно лишь в том случае, когда

,

т. е. значения функций и не должны зависеть от температуры Т ₃.

Тогда

и выражение для термического КПД цикла Карно перепишется в виде

.

Для обратимого цикла Карно, реализуемого в бесконечно малом интервале температуры , т. е. при последнее выражение будет иметь вид

.

Разложим в ряд Тейлора

.

Ряд сходящийся и, ограничиваясь первыми его двумя слагаемыми, получим

.

Выбор температуры произволен, обозначая ее впредь как u, введем обозначение . Следовательно,

.

Получим дифференциальное уравнение, однозначно связывающее КПД обратимого цикла Карно с температурой J, которую называют термодинамической. Т. к. КПД цикла Карно не зависит от свойств рабочего тела, так и термодинамическая температура не будет зависеть от термических свойств вещества. Проинтегрировав, получим

, (6.5)

где – некоторая постоянная температура, – теплота, соответствующая этой температуре.

Из последнего выражения (6.5) следует, что можно ввести множество различных шкал термодинамической температуры, варьируя выбором типа функции и начальной температурой .

Кельвин предложил выбрать такой, чтобы температурные интервалы шкалы были пропорциональны . В этом случае , тогда

. (6.6)

Пусть температурам и соответствуют тепловые эффекты и , тогда можно записать соответствующие выражения

, а .

Разность температуры пусть будет равна известному температурному интервалу, например между температурами кипения воды и таяния льда

; ,

то есть , где .

С учетом выражения для расчета константы “ b ”, решая (6.6) относительно температуры , получим

. (6.7)

Таким образом, выражение (6.7), позволяет составить температурную шкалу. Такая температурная шкала получила название логарифмической. Следуя, лорду Кельвину будем считать , а интервал равным 100 °С. Очевидно, что в этом случае , , следовательно, эта шкала предполагает наличие отрицательных температур. При ; , а при , , , . Это означает, что в логарифмической термодинамической шкале температурный интервал равен (-¥; ¥). Однако в виду неудобства использования такая шкала температуры не получила распространения.