Проверка правильности расчета

 

Составим баланс мощностей. Если источник Е совпадает с током через него, то мощность данного источника записываем со знаком «+», если не совпадает – то со знаком «-».

 

Е₀ на зажимах источника тока определяем по второму закону Кирхгофа для контура содержащего источник тока, мысленно заменив I₀ на Е₀:

 

Мощности потребителей всегда положительны:

 

5687 Вт ≈5688,4 Вт

 

Расхождение результатов правой и левой частей уравнения допускается не более 15%, в противном случае считается, что баланс мощностей не сошелся.

 

В нашем случае расхождение 0,02%.

 

 

Метод узловых и контурных уравнений

 

Метод применяется для расчета любых электрических цепей.

Методика расчёта: 1) Произвольно задается направление токов в ветвях и направление обхода контуров. 2) Составляется система уравнений по законам Кирхгофа, причем число уравнений равно числу неизвестных токов (ветвей). а) По I-му закону Кирхгофа записываются узловые уравнения, причем их число равно числу узлов в схеме “-1” (1) Узел “1” I1=I3+I2 (2) Узел “2” I3=I4+I5 (3) Узел “3” I2+I4=I1+I6+I7 n — число узлов в схеме n – 1= 4 – 1=3 уравнения

 

б) По II-му закону Кирхгофа записываются контурные уравнения, причем их число рассчитывается по формуле: m – (n – 1),

где m — число неизвестных токов (ветвей).

Контур I:	Контур II:	Контур III:
E1=I1R1+I2R2 (4)	E4=I3R3+I4R4–I2R2 (5)	–E4=I5R5–I6R6–I4R4 (6)

 

 

3) Решаем систему любым известным из математики способом и находим неизвестные токи.

Вывод: Если в результате расчета какие-либо токи получатся отрицательными, значит направление этих токов выбрано неверно.

Проверка правильности расчета — баланс мощности.

Примечание — для контура, содержащего источник тока, уравнение по II-му закону Кирхгофа не записывается.

 

 

Пример решения:

	Дано: Е1=Е2=Е3=300 В R1=R3=R5=R6=10 Ом R2=R4=15 Ом I0=10 A   Найти: все токи.

 

Решение:

1. Задаем направления токов в ветвях схемы.

2. По законам Кирхгофа составляем систему уравнений, причем по первому закону (в схеме 4 узла): 4-1=3 уравнения, по второму закону (в схеме 6 неизвестных токов) 6-(4-1)=3 уравнения. Всего 6 уравнений (в одной ветке стоит источник тока, ток данной ветки уже известен) остается 5 уравнений:

 

Решим систему методом подстановки:

 

 

В результате расчета все токи получились положительные, значит их направление выбрано, верно. Значения токов совпали со значениями предыдущих токов.

Решение верно.

 

 

Метод узловых потенциалов

 

Метод позволяет сократить число уравнений в системе до n–1 (n—количество узлов).

 

Узловым напряжением называется разность потенциалов между данным узлом и базисным (jк-го=0).   По I-му закону Кирхгофа для независимых узлов (1,2,4):

 

По обобщенному закону Ома токи в ветвях:

Для “1” узла:

Перепишем систему уравнений (1):

 

Методика расчета:

1) Произвольно задаются направления I-ов в ветвях.

2) Намечается базисный узел (j=0) и все независимые узлы.

3) Составляется система уравнений для независимых узлов типа:

в левой части уравнения — S произведений Е ветвей, сходящихся в данном узле, на соответствующие им проводимости и S источников тока;

в правой части уравнения — произведение j рассматриваемого узла и суммы проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле, минус j противоположных концов этих ветвей, умноженных на проводимости этих ветвей.

4) ЭДС (I₀) учитывается со знаком “+”, если направлена в данный узел, и наоборот.

5) Решаем систему уравнений любым известным из математики способом.

6) Определяем токи в ветвях по обобщенному закону Ома.

Вывод: Если в результате расчета какие-либо токи получатся отрицательными, значит направление токов выбрано неверно.

Проверка правильности расчета — баланс мощности.

Примечание — если в схеме есть ветвь с чистой Е (без R), то в качестве нулевого j необходимо взять один из узлов данной ветви, а ток ветви рассчитывается по I-му закону Кирхгофа.

 

 

Частный случай: Метод 2-х узлов.

 

Можно применять в схемах, имеющих любое количество активных или пассивных ветвей, но только два узла.

Методика расчета: 1) Направление токов в ветвях задается произвольно, но к одному узлу. 2) Записывается уравнение узлового U, причем ЭДС считается “+”, если направление I и Е ветви совпадают, и наоборот:

3) Определяются токи ветвей по формуле:

 

Е считается “+”, если направление Е и I ветви совпадают.

Вывод и проверка — см. Выше.

1) Если Е ветви > U, то источник работает в режиме генератора.

2) Если Е ветви < U, то источник работает в режиме потребителя.

3) Если Е ветви = U, то источник работает в режиме Х.Х. и её можно включить и отключить не нарушая рабочего режима работы.

4) Если в ветви только чистая Е, то U=Е_в и нет необходимости рассчитывать U между узлами.

 

Пример решения:

Дано: Е1=Е2=Е3=300 В R1=R3=R5=R6=10 Ом R2=R4=15 Ом I0=10 A   Найти: все токи.

Решение:

1. Задаем направления токов в ветвях.

2. Задаем базисный узел (φ₄=0), так как он принадлежит к ветке с чистой Е₃ (без резистора), остальные узлы соответственно с потенциалами φ₁, φ₂, φ₃.

Тогда φ₁=Е₃=300 В.

 

3. Составляем систему уравнений для независимых узлов (2,3):

Решим систему методом подстановки:

 

4. По обобщенному закону Ома находим токи в ветвях схемы. Ток ветви прямо пропорционален разности потенциалов концов ветви, по которой протекает ток (ток течет от большего потенциала к меньшему) и ЭДС ветви («+» - если ЭДС совпадает по направлению с током) и обратно пропорционален сопротивлению ветви.

 

В результате расчета все токи получились положительные, значит их направление выбрано верно. Значения токов совпали со значениями предыдущих токов.

Решение верно.

 

Метод контурных токов

Метод позволяет уменьшить число уравнений до (m-n+1).

Методика расчета: 1) Произвольно задаются направления токов в ветвях. 2) Произвольно задаются направления контурных токов в независимых контурах схемы. Контурный ток — расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурный ток равен действительному току ветви, которая принадлежит только данному контуру.

3) Составляются уравнения для определения действительных токов:

для смежных ветвей — наложением контурных токов, соответствующих смежных контуров;

для независимых ветвей — если контурный ток совпадает с направлением I ветви, то I_в=I_к, если не совпадает, то I_в= –I_к.

I₁=I_I; I₃=I_II; I₅=I_III — для независимых ветвей;

I₂=I_I–I_II; I₄=I_II–I_III; I₆=–I_III–I₇ — для ветвей смежных контуров.

 

4) По II-му закону Кирхгофа составляются контурные уравнения:

ЭДС считается положительной, если направления ЭДС и контурного тока совпадают и наоборот;

падение напряжения от собственного контурного тока всегда “+”;

падение напряжения от смежного контура в ветви их соприкосновения будет “+”, если направления контурных токов в ветви соприкосновения смежных контуров совпадают и наоборот.

 

5) Полученная система решается любым известным из математики способом, и определяются величины контурных токов.

6) По уравнениям п.3 определяются реальные токи.

 

Вывод: Если в результате расчета какие-либо токи получатся отрицательными, значит направление токов выбрано неверно.

Проверка правильности расчета — баланс мощности.

Примечание: Для контура, содержащего источник тока, уравнение по II-му закону Кирхгофа не записывается, но падение напряжения в смежном контуре от данного контура учитывается на общих основаниях (см. уравнение 3 п.4)

 

Пример решения:

Дано: Е1=Е2=Е3=300 В R1=R3=R5=R6=10 Ом R2=R4=15 Ом I0=10 A   Найти: все токи.

Решение:

1. Задаем направления токов в ветвях.

2. Задаем направление контурных токов в независимых контурах схемы (I_I, I_II, I₀).

 

3. По второму закону Кирхгофа составляем контурные уравнения для контуров с токами I_I и I_II.

Для контура I₀ уравнение не составляется, так как он содержит источник тока.

 

Решим систему методом подстановки.

 

4. Определяем действительные токи ветвей.

 

- для независимых ветвей:

 

- для ветвей смежных контуров:

 

В результате расчета все токи получились положительные, значит их направление выбрано верно. Значения токов совпали со значениями предыдущих токов.

Решение верно.