Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин

 

Условия вариантов задачи

 

В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

.

Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Вариант	a0	a1	a2	b0	b1	b2	m1	m2	m3	D1	D2	D3	K12	K23	K13
9.1	-9	-1			-3			-2							-1,5
9.2	-8				-4
9.3	-7				-5										2,5
9.4	-6				-6										-1
9.5	-5				-7		-2		-1					1,5	-1
9.6	-4				-8		-2		-1				-1,5	4,5
9.7	-3				-9	-1	-5		-2
9.8	-2				-8	-2	-5		-2				-4
9.9	-1			-9	-7	-3
9.10				-8	-6	-4							-5	2,5
9.11			-1	-7	-5	-5
9.12			-2	-6	-4	-6	-1
9.13			-3	-5	-3	-7	-1
9.14			-4	-4	-2	-8
9.15			-5	-3	-1	-9		-1
9.16			-6	-2		-8	-5	-2	-4						-3
9.17			-7	-1		-7	-2	-3
9.18			-8			-6	-2	-4							-7,5
9.19		-1	-9			-5	-2	-5
9.20	-9	-2	-8			-4		-6						1,5	-1,5
9.21	-8	-3	-7			-3		-7					4,5
9.22	-7	-4	-6			-2		-8
9.23	-6	-5	-5			-1		-9	-4
9.24	-5	-6	-4				-9	-8	-4
9.25	-4	-7	-3					-7					7,5	12,5
9.26	-3	-8	-2					-6					7,5		7,5
9.27	-2	-9	-1					-5					-7,5		7,5
9.28	-1	-1						-4					1,5		7,5
9.29		-9						-3					-1,5		7,5
9.30		-8						-2					1,5		7,5
9.31		-7						-1						-1
9.32		-6
9.33		-5												-1
9.34		-4		-9										1,5
9.35		-3		-8										-1,5
9.36		-2		-7
9.37		-1		-6		-2									-2
9.38				-5
9.39				-4	-1				-1						-4
9.40				-3	-2				-2

 

Методические указания

 

Числовые характеристики суммы

Пусть , где – не случайные коэффициенты, тогда

– математическое ожидание Y равно

, (9.1)

где – математическое ожидание СВ X_i;

– дисперсия Y равно:

, (9.2)

где – дисперсия СВ X_i ,

– корреляционный момент величин X₁ и X₂.

Если , – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величины Y равны

; (9.3)

. (9.4)

Числовые характеристики произведения

Пусть , где – не случайный коэффициент, то математическое ожидание Y равно:

; (9.5)

где – математическое ожидание СВ X_i,

– корреляционный момент величин X₁ и X₂.

Если , то математическое ожидание Y равно

; (9.6)

В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле

. (9.7)

Если , где X_i – независимые случайные величины, то математическое ожидание и дисперсия Y равны

; (9.8)

. (9.9)

Примеры

 

Пример 9.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

Величины , , имеют следующие числовые характеристики:

Решение. Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):

Вычислим дисперсии D_U и D_V по формуле (9.2):

Рассчитаем корреляционный момент по формуле (8.10):

.

Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V:

Таким образом

Величину определим по формуле (8.11):

 

Контрольная работа №2. Математическая статистика

Задача 10. Обработка одномерной выборки

Условие задачи

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c² и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

 

Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 49 значений одномерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.

 

Методические указания

 

Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Выборка – множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка { }, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Оценка закона распределения

Эмпирическая функция распределенияслучайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x, и определяется формулой

(10.1)

При эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения .

Интервальный статистический рядвероятностей строится по исходной выборке, если анализируемая случайная величина Х является непрерывной, и представляет собой следующую таблицу:

j	Aj	Bj	hj	nj
	A1	B1	h1	n1
M	AM	BM	hM	nM

Здесь j – номер интервала;

M – число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

(10.2)

где int(x) – целая часть числа x. Желательно, чтобы n без остатка делилось на M;

A_j, B_j – левая и правая границы j -го интервала ( – интервалы примыкают друг к другу), причем , ;

– длина j -го интервала;

- количество чисел в выборке, попадающих в j -й интервал,

– частота попадания в j -й интервал; .

– статистическая плотность вероятности в j -м интервале.

При построения интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:

1) равноинтервальный, т.е. все интервалы одинаковой длины:

(10.3)

2) равновероятностный, т.е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M):

(10.4)

Гистограмма строится по интервальному статистическому ряду и представляет собой статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины. Гистограмма – совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах hj статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.