Функциейраспределенияслучайнойвеличины X называ-

Етсяфункция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что

Случайная величина X приметзначение, меньшее x

F(x) = P(X < x). Свойствафункции распределения1. Значенияфункциираспределенияпринадлежатотрезку [0, 1]. – неубывающаяфункция. при

3. Вероятность того, чтослучайная величина приметзначение, заключенное в интервале (a, b), равнаприращениюфункциираспределения на этоминтервале. 4. На минусбесконечностифункцияраспределенияравна нулю, на плюс бесконечностифункцияраспределенияравна единице.5. Вероятность того, чтонепрерывнаяслучайная величина примет одно определенноезначение, равна нулю.

24.

Определение.Плотностьюраспределения вероятностейнепрерывнойслучайнойвеличины называетсяфункция f(x) – перваяпроизводная от функциираспределения . Свойстваплотностираспределения

1. Плотностьраспределения – неотрицательнаяфункция. 2. Несобственныйинтеграл от плотностираспределения в пределах от - ¥ до ¥равенединице. Криваяраспределениявероятностей - кривая, характеризующаяраспределениевероятностейпоявлениявеличиныгидрологическогоэлемента. Кривая, изображающаяплотностьраспределенияслучайнойвеличины, называетсякривойраспределения

Рассматривая плотность распределения для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» . Это есть вероятность попадания случайной величины на элементарный участок , прилегающий к точке . Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение .Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке

25. Дискретнаяс.в. – это с.в., принимающая конечное или счетное число значений.1).Мат. Ожидание: Свойства: Mc=c, c=const; Mcx=cMx; M(x+y)=M(x)+M(y);M(xy)=MxMy;

2).Дисперсия-среднее значение квадрата отклонения с.в. от ее среднего значения.Dx=Mx²–(Mx)². Свойства: Dc=o, c=const; Dcx=c²Dx; D(x+y)=Dx + Dy; 3). Среднее квадр. Отклонение – . 4).Модой с.в. х наз. число М₀, которое равно её наиболее вероятному значению. ; 5).Медианой с.в. наз. такое число, что:

 

27 Мода и медиана с.в.

Мода д.с.в. – это наиболее вероятное значение с.в.; для н.с.в. – это точка максимума плотности распределения. Обозначение: Мo_х.

Медиана Мe_х с.в. - это такое значение с.в., для которого P { X < xm }= P { X > xm }=1/2

Медиана является характеристикой н.с.в..

Геометрически медиана- это точка на оси 0 x для которой площади под графиком плотности распределения, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 21.

Если плотность распределения симметрична относительно прямой x = a и распределение одномодально, то математическое ожидание, медиана и мода совпадают между собой,

M (X)= Mex=M О x

 

 

28 Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.

свойствадисперсиии.
1. D(X) ≥0

2. D(c) =0

3. D(cX)=c 2 D(X)

4 D(X+Y)=D(X)+D(Y) где( Х, Y - независимые с.в.)

5 D(X+с)= D(X)

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойства мат ожидания

M[C] = C.

M[CX] = CM[X].

M[XY ] = M[X]M[Y ].

M[X + Y ] = M[X] +M[Y ]

M[X] = np(произведение числа ожиданий на вероятность)

29. Начальные и центральные моменты дискретной с.в. Коэффициент асимметрии, эксцесс.

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x, т.е. a k = Mx k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx)k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx, а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a 2 = Mx 2 = M(x - Mx)2 = Dx.

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой,

где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Эксцесс Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x, от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством.

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x)> 0, то это означает, что график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения.

30. Бернуллиевскаяс.в., ее математическое ожидание и дисперсия.

Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность , где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появлении события в n независимых опытах.
Мх=npDx=npqq=1-p

31 Пуассоновская с.в., ее математическое ожидание и дисперсия.

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром альфа (альфа > 0), если

Что кратко записывается в виде L(кси) = П(кси); при этом альфа= Мх = Dх.

Альфа = np

 

Закон распределения называется равномерным, если

ф-цияраспред.:

 

,

Случайная величина распределена по показательному закону, если

;

 

36. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ; .Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание, равное нулюДисперсия определяет форму кривой нормального закона распределения.

Чаще всего используют нормальный закон в нормированной форме, который получают заменой переменной . .

; для ; .

37.Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), такова: .

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда .

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда .

Найдем новые пределы интегрирования. Если , то , если , то . Тогда

.

Выражение , входящее в эту формулу, является функцией верхнего предела X, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей и обозначается Ф(x). В результате получаем:

Ф — Ф ,

где Ф(x) = .

Эту формулу называют формулой Лапласа.

Если случайная величина X является признаком генеральной совокупности, то формула Лапласа дает долю элементов генеральной совокупности, у которых значение признака X находится в границах от до .

Интеграл, через который выражается функция Лапласа, нельзя выразить через элементарные функции. Его можно представить в виде степенного ряда, если разложить в ряд подынтегральную функцию и почленно проинтегрировать ряд. Тогда

Ф(x) = .

C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.

Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.

1. Функция Ф(x) – нечетная, т. е. Ф(-x) = –Ф(x).

2. Функция Ф(x) – возрастающая, быстро приближающаяся к своему пределу, равному 0,5: Ф(0) = 0, Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772, Ф(3) = 0,4986, Ф(4) = 0,4999 и т.д. На практике полагают Ф(x) для x>5.