Табличное определение отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Возьмем сложное соединительное (конъюнктивное) высказывание «Сегодня мы идем в музей и мы идем в кино».
Ясно, что, если мы побываем и в музее, и в кино, это высказывание будет истинным. Если мы посетим музей, но не пойдем в кино или, наоборот, побываем в кино, но не пойдем в музей, высказывание будет ложным. Оно будет ложно и в том последнем случае, когда мы не пойдем ни в музей, ни в кино. Эти четыре возможных случая сводятся вместе в таблице для конъюнкции («и» означает «истинно», «л» — «ложно»). Словами эту таблицу можно передать так: конъюнкция истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны. Или, что то же самое: конъюнкция ложна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний ложно. Конъюнкция отличается от обычного «и» в двух важных моментах. Прежде всего, конъюнкция учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому конъюнкция, в отличие от обычного «и», может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи: «В огороде растет бузина и в Киеве живет дядька», «Дважды два четыре и трава зеленая» и т.п. В частности, второе из этих высказываний — по определению конъюнкции — является истинным. Далее, для конъюнкции безразличен порядок, в каком берутся соединяемые ею высказывания. Для обычного «и» это не всегда так: сказать «Он сломал ногу и попал в больницу» не то же самое, что сказать «Он попал в больницу и сломал ногу».
Возьмем сложное разделительное (дизъюнктивное) высказывание

«Он сдал экзамен по математике или он сдал экзамен по физике». Если были сданы оба экзамена, дизъюнкция является истинной. Она истинна и в случае, если был сдан только какой-то один из экзаменов. И лишь в случае, когда оба экзамена не были сданы, дизъюнкция является ложной. Коротко говоря: дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Или: дизъюнкция ложна, только если оба входящих в нее высказывания ложны.
В качестве примера строго разделительного (дизъюнктивного) высказывания возьмем высказывание «Либо он хорошо знает химию, либо он хорошо знает литературу». Если оказывается, что рассматриваемый человек хорошо знает и то и другое, данное высказывание является ложным. Оно ложно, если он не знает ни химию, ни литературу. Высказывание истинно в двух случаях: данный человек хорошо знает химию, но не литературу или же он хорошо знает литературу, но не химию. Строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно. Или: строгая дизъюнкция ложна, когда оба входящих в нее высказывания истинны или оба они ложны.

Отрицание: Слово «связка» применительно к «неверно, что» («не») звучит несколько непривычно: связка «связывает» по меньшей мере два объекта, а «неверно, что» — операция, приложимая к одному высказыванию. Тем не менее эта операция также именуется «связкой», и это, в общем-то, не более непривычно, чем называть нуль числом.
Связь «неверно, что» называется отрицанием. С помощью отрицания из данного высказывания получается новое высказывание, называемое отрицательным высказыванием или просто отрицанием. Например, из высказывания «Семь — четное число» получается отрицательное высказывание «Неверно, что семь — четное число». Это отрицательное высказывание слагается из исходного простого высказывания и оборота «неверно, что».
Вместо слов «неверно, что» очень часто используется слово «не»: вместо «Неверно, что слон — разумное существо» можно сказать: «Слон не является разумным существом».
Отрицание обычно обозначается знаком ~ («тильда»), иногда знаком 1 («уголок») или «—» — горизонтальной чертой над всем отрицаемым высказыванием. Если а — высказывание, то ~а (1 а, а) — его отрицание, читаемое как «Неверно, что а» или «Не-а».
Высказывание и его отрицание составляют вместе логическое противоречие.
В случае описательных высказываний, если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, а если исходное высказывание ложно, его отрицание истинно. К примеру, из истинного высказывания «Северный полюс существует» с помощью операции отрицания получаем ложное высказывание «Неверно, что Северный полюс существует» или «Северный полюс не существует». Из ложного высказывания «Тигры живут на Северном полюсе» с помощью отрицания получается истинное высказывание «Неверно, что тигры живут на Северном полюсе» или «Тигры не живут на Северном полюсе».
Логические связки, с помощью которых из данных высказываний получаются сложные высказывания, называются пропозициональными связками (от лат. propositio — суждение, высказывание).
Взятые сами по себе, пропозициональные связки не имеют никакого конкретного содержания. Имена обозначают какие-то объекты, высказывания описывают или оценивают некоторые ситуации или положение дел. Связки не обозначают никаких объектов, не описывают и не оценивают ситуаций. Но в сочетании с одним пли несколькими высказываниями, имеющими самостоятельное содержание, пропозициональные связки дают сложные высказывания, обладающие самостоятельным содержанием, описывающие пли оценивающие какие-то ситуации.