Деление отрезка в заданном соотношении

Пусть даны две точки и . Нужно найти координаты точки , которая делит этот отрезок в соотношении c: d.

,

Уравнениепрямой

· уравнениепрямой с угловым коэффициентом

· каноническая форма уравнения прямой

Пусть нужно найти уравнение прямой по точке и направляющему вектору , т.е. ненулевому вектору, лежащему на искомой прямой или параллельному ей.

Частный случай: уравнение прямой по двум точкам

Пусть даны две точки и . Уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

• параметрическая форма уравнения прямой

Пусть нужно задать прямую в параметрической форме по точке и направляющему вектору .

· общее уравнениепрямой

Пусть нужно найти уравнение прямой по точке и нормальному вектору прямой , т.е. ненулевому вектору, перпендикулярному искомой прямой.

Обычно общее уравнение прямой записывают в виде

 

Число решений системы линейных неравенств

 

Форма задания прямой	Прямые параллельны, нет решений	Прямые совпадают, бесконечно много решений	Прямые пересекаются, одно решение	Частный случай: прямые перпендикулярны
		k1=k2, b1=b2		k1*k2=-1
				, то есть A1*A2 + B1*B2=0
	или	или

 

 

Лекция 3. Модули

Напомнимопределениемодуляиегоосновныесвойства.

Определение. Абсолютнойвеличиной (илимодулем) |х| называетсясамоэточисло, еслих‑положительноечисло; нуль, есличислох‑нуль; число, противоположноечислух, еслих‑отрицательноечисло.

Этоопределениеможнозаписатьвдругойформе:

Теорема . Свойствамодулядействительногочисла:

1. │ а + в │≤│ а │+│ в │;

2. │ ав │=│ а │*│ в │;

3. │1/ а │=1/│ а │при а ≠0;

4. │ а - в │≥││ а │-│ в ││.

 

Схемырешениярациональныхуравнений/неравенствсмодулями

1. Схема | f (x)| = c.

Прис< 0 –нетрешений.

Прис = 0 f (x) = 0.

Прис> 0 .

Пример 2. . Ответ: .

2. Схема | f (x)| ≥c.

При с≤ 0 –D(f), тоестьвсечисла, прикоторыхопределенафункция f (x).

При с> 0 .

Пример 3. . Ответ:

3. Схема | f (x)| ≤c.

При с< 0 –нетрешений.

При с = 0 f (x) = 0.

При с>0 .

Пример 4. . Ответ:

 

 

4. Схема | f (x)| = g (x).

.

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f (x) или на g (x).

5. Схема | f ( x )| ≥ g ( x ).

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f (x) или на g (x).

6. Схема | f (x)| ≤ g (x).

Выбор схемы зависит от того, какое неравенство легче решать – на f (x) или на g (x).

Методинтерваловдлямодулей

Применяетсявуравненияхинеравенствахтипа |f(x)| + |g(x)| = h(x) иимподобных, тоестьтам, гдеестьнесколькомодулейионинезависятдруготдруга (втомсмысле, чтонеявляютсявложенными). Вслучаевложенныхмодулейнадораскрыватьотвнешнегоквнутреннемуилинаоборот–взависимостиотвозможныхупрощений, новодномпорядке.

 

Схема метода интервалов для модулей. Разбиваем числовую ось точками, в которых подмодульные выражения равны нулю, на промежутки знакопостоянстваподмодульных выражений. На каждом промежутке раскрываем модули (в зависимости от знака подмодульного выражения), решаем уравнение или неравенство, пересекаем получающийся ответ с промежутком. Затем объединяем полученные на всех промежутках ответы.

 

 

Напомним:

1.y=|f(x)| - часть графика, находившаяся выше оси Ох, остается неизменной, а часть графика, находившаяся ниже этой оси, симметрично отображается относительно Ох

2. y=f(|x|) – часть графика, находившаяся правее оси Оy, остается неизменной и симметрично отражается влево относительно оси Oy.

3. |y|=f(x) – часть графика, находившаяся выше Ох остается неизменной и симметрично отражается вниз относительно Ох, а часть графика, находившаяся ниже оси Ох стирается.

y=|x-a|

 

Сделаем математику красивее…

Построить множество точек, задающееся уравнением

Комментарий: а –половинадиагоналиквадрата.

Геометрическийцентрквадрата– (0;0).

Чётнопо х и у, тоесть, строимвпервойчетверти

иотражаемвовсечетыре.

Построить множество точек, задающеесяуравнением

Сумма модулей

Если функция является суммой или разностью нескольких модулей, следует разбить координатную плос-кость на участки и построить часть графика на каждом из участков отдельно. Границы участков определяют-ся значениями переменных, при которых обнуляется один из модулей. Таким образом, эти границы можно найти с помощью приравнивания каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения.

Пример 3.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1|.

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, иследовательно, 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно, 2 границы, которыми плоскость разби-та на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1|, используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участ-ках, например, при x = −3 и x = 3. На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5), (−2;3), (1; 3), (3;7).

 

Запомните: Если y1 = k1x+b1и y2 = k2x+b2, то их сумма:!

Ysum = y1+y2 = (k1+k2)x + (b1+b2)