Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X⊂Y ⇔ X⊆Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

1. X⊆Х (рефлексивность);
2. [X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);
3. ∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество А_i множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2ⁿ.

Счетное множество — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а₁, а₂, а₃,..., а_n,... так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Сравнение множеств

Множество содержится во множестве (множество включает множество ), если каждый элемент есть элемент :

В этом случае называется подмножеством , — надмножеством . Если и , то называется собственным подмножеством . Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Операции над множествами

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

• пересечение:

• объединение:

Если множества и не пересекаются,то . Их объединение обозначают также: .

• разность (дополнение):

• симметрическая разность:

• Декартово или прямое произведение:

Унарные операции

• Абсолютное дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество , которое содержит ):

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

• Мощность множества:

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

• Множество всех подмножеств (булеан):

Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.

Приоритет выполнения операций

Сначала выполняются операции абсолютного дополнения, затем пересечения, затем объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Вопрос №8

Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.
Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.
Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

Граф

Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур, так что вершины графа изображаются точками, а ребра - линиями, соединяющими точки (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают.

Простой граф граф без кратных ребер и петель.

Степень вершины это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер.

Пустым называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.