Схема независимых испытаний по Бернулли

Проводится серия из nнезависимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”, в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q=1-p. Вероятность того, что в серии будет реализовано ровно k “успехов” вычисляется по формуле , где 0< p <1, k =0,1, …, n, , .

Формулы Бернулли

Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: ,

где q = 1-p

Локальная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

- функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

Теорема Пуассона

При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний и так, что , , то при любых

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой ,

т.е. использовать формулу Пуассона для l =np.

 

Случайные величины и законы их распределения

Понятие случайной величины.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. 2 типа СВ: Дискретная -СВ,принимающая конечное или бесконечн.счетное множ-во значений. Например:частота попаданий при трех выстрелах;число бракованных изделий в партии из n штук; число вызовов, поступающих на телефон.станцию в течение суток; возможн.число горошин в 1 кг.

Непрерывная - СВ, кот. м.принимать люб.значения из некоторого конечн. или бесконечн.интервала.. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора;время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовл-я деталей;концентрация соли в морской воде. Для задания случайной величины надо перечислить все ее возможн. значения и вероятности их появления. Совокупность всех возможн.знач-ий СВ и соответствующих им вероят-тей – распредел-е СВ.

Дискретные СВ- величина, кот.в рез-те испытаний принимает то или иное(только одно)возможн.значение,заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайн.обстоятельств. В отличие от случайн.события,кот. явл-ся качественной характеристикой случайн. рез-та испытания,случайн.величина характеризует рез-т испытания колич-но. Примеры: размер обрабатываемой детали,погрешность рез-та измерения к-л параметра изделия или среды.

Примеры распределений ДСВ:

Биномиальное распределение -распр-е кол-ва «успехов» в последоват-ти из n независимых случайн.экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них одинакова.

фор-ла Бернулли: , где p-вероят-ть,n-число испытаний, m-число появл-ий соб.А

Мат.ожид-е: , Дисперс.: прим. Вероятность поломки одного из пяти работающих независимо друг от друга станков = 0,2. Если происходит поломка, станок до конца дня не работает. Какова вероятность, что 0, 1, 2, 3, 4, 5 станков сломаются в течение дня?Решение:

и.т.д

Распред-е Пуассона -моделирует СВ, представляющую собой число событий, произошедших за фиксир-е время, при условии, что данные события происходят с нек. фиксиро-й средн.интенсивностью и независ.друг от друга (число испытаний -оч.велико, вероят.появл. соб. А-оч.мала) Фор-ла Пуассона: (a=n*p)

Мат.ожид-е:

Дисперс.:

прим.:на АТС в теч-е 1 часа поступило n=500 сигналов.Вероят-ть сбоя p=0,002.Написать 5 первых членов закона распр-я.Решение:

и т.д.

Геометри́ч-е распред-е - распред-е дискретн.случайн. величины равной колич-ву испытаний случайн. эксперимента до наблюдения 1-го «успеха».

где m-число испыт-ий

Мат.ожид-е:

Дисперс.:

Прим.2стрелка поочерёдно стреляют по целям до 1-го попадания одного из орудий. Вероят-ть попадания 1-ым стрелком=0,7; 2-ым=0,8.Вначале стреляет 1-ый стрелок. Сост-ть 1-ые 5 членов распр-я. Реш-е: P(1)=0,7; Р(2)=0,3*0,8; Р(3)=0,3*0,2*0,7 и т.д.

Гипергеометрическое рас-е -моделирует кол-во удачных выборок без возвращения из конечн.совокупности.

Прим.В партии из N=20 изелий n=5 изд. имеют дефект.Какова вероят-ть,что из взятых m=4 изд. k=2 изд-я явл-ся дефектными? Реш.: