Элементы теории случайных погрешностей. Показание прибора как случайная величина. Функция плотности вероятности. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Случайные ошибки представляют не что иное, как случайные события по теории вероятностей. Гаусс, рассматривая случайные события, установил нормальный закон распределения случайной величины, который применим и для результатов измерений при наличии случайных ошибок Δx_i:

 

__ (-Δx²_i/2σ²)

f(Δx_i) = (1/ σ² √2π) e (3)

 

где f (Δx_i) – вероятность отклонения случайной величины x от ее наиболее вероятного значения x₀. Параметр σ в формуле (3) называется стандартной ошибкой, а ее квадрат σ² – дисперсией измерений. График функции f(Δx_i) для разных значений σ представлен на рис. 1, а, б.

Рис. 1.

Нормальная кривая разделяется на три зоны, каждой из которых соответствует определенная вероятность попадания случайной величины. В интервал от x_ср – s до x_ср + s попадает 68% всех измерений. В интервале от x_ср– 2s до x_ср+ 2s то есть с удвоенной стандартной ошибкой, укладывается 95% всех измерений, а в интервал от x_ср – 3s до x_ср +3s – 99,7%. Только 0,003% всех измерений выходит за пределы интервала (x_ср – 3s, x_ср +3s). Практически вероятность таких измерений равна нулю. Таким образом, удобство применения стандартной ошибки в качестве основного выражения погрешности измерения заключается в том, что ей соответствует математически обоснованная определенная вероятность, называемая доверительной вероятностью, а соответствующий ей интервал называется доверительным интервалом.

Элементы теории случайных погрешностей. Погрешность прибора как случайная величина.Связь систематической погрешности с величиной математического ожидания.

При наличии случайных погрешностей измерений прибегают к многократным наблюдениям и последующей статистической обработке их результатов. При этом результаты наблюдений и измерений и случайные погрешности рассматриваются как случайные величины, то есть величины, которые характеризуют случайное явление и в результате измерений принимают то или иное значение.

 

 

Наибольший практический интерес представляет начальный момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины m1 (k=1):

Математическое ожидание определяет положение центра группирования случайной величины, вокруг которого наблюдается ее рассеяние. Экспериментальной оценкой математического ожидания при многократных измерениях является среднее арифметическое значение измеряемой величины.

Элементы теории случайных погрешностей. Среднеквадратичное отклонение, как величина, характеризующая разброс случайных погрешностей. Понятие о нормированной (единичной) функции нормального распределения. Как перейти от нормированной функции нормального распределения (функции, у которой сигма равна единице) к функции с произвольным значением сигма.

Оценка S среднего квадратического отклонения (СКО) дается формулой:

Эта оценка характеризует рассеяние единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же величины около их среднего значения.
Другими оценками рассеяния результатов в ряду измерений являются размах (разница между наибольшим и наименьшим значением), модуль средней арифметической погрешности (арифметическая сумма погрешностей, деленная на число измерений) и доверительная граница погрешности (подробно рассматривается ниже).
СКО является наиболее удобной характеристикой погрешности в случае ее дальнейшего преобразования. Например, для нескольких некоррелированных слагаемых СКО суммы определяется по формуле:
.