Работа. Первое начало термодинамики. Циклы.

 

65. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5 г, взятого при температуре Т=290 К, если объем газа увеличивается в три раза?

66. Определить работу А адиабатного расширения водорода массой m=4 г, если температура газа понизилась на Т = 10 К.

67. Баллон вместимостью V=20 л содержит водород при температуре Т=300 К под давлением р = 0,4 МПа. Каковы будут температура и давление . Если газу сообщить количество теплоты Q= 6 кДж?

68. Кислород при неизменном давлении р = 80кПа нагревается. Его объем увеличивается от =1 м до = 3 м . Определить: 1) изменение U внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совершенную им при расширении; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

69. При изотермическом расширении водорода массой m=1 г, имевшего температуру Т= 280 К, объем газа увеличился в три раза. Определить работу А расширения газа и полученное газом количество теплоты Q.

70. Углекислы газ СО массой m=400 г был нагрет на Т = 50 К при постоянном давлении. Определить изменение U внутренней энергии газа, количество теплоты Q, полученное газом, и совершенную им работу А.

71. Кислород массой m=800 г, охлажденный от =100 С до температуры = 20 С, сохранил неизменный объем V. Определить: 1) количество теплоты Q, полученное газом; 2) изменение U внутренней энергии; 3) совершенную газом работу А.

72. Азот массой m = 200 г расширяется изотермически при температуре Т= 280 К, причем объем газа увеличивается в два раза. Найти: 1) изменение U внутренней энергии газа; 2) совершенную при расширении газа работу А; 3) количество теплоты Q, полученное газом.

73. Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой m=1 г, взятый при температуре Т= 280 К под давлением = 0,1 МПа, изотермически сжать до давления = 1 МПа?

74. При адиабатном расширении кислорода с начальной температурой = 320 К внутренняя энергия уменьшилась на U= 8,4 кДж, а его объем увеличился в n=10 раз. Определить массу m кислорода.

75. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура охладителя равна 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от = 400 К до =600 К?

76. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты Q = 4,2 кДж, совершил работу А=590 Дж. Найти термический КПД этого цикла. Во сколько раз температура нагревателя больше температуры охладителя?

77. Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты Q = 4 кДж. Определить работу А газа при протекании цикла, если его термический КПД =0,1.

Энтропия

78. Найти изменение S энтропии при изобарном расширении азота массой m=4 г от объема V =5 л до объема V =9 л.

79. Лед массой m =2 кг при температуре t =0 C был превращен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего температуру t =100 C. Определить массу m израсходованного пара. Каково изменение S энтропии системы лед-пар?

80. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в n=5 раз один раз изотермически, другой - адиабатно. Найти изменения энтропии в каждом из указанных процессов.

81. Водород массой m=100 г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что его давление уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение S энтропии в ходе указанных процессов.

 

Реальные газы. Жидкости.

 

82. В сосуде вместимостью V=0,3 л находится углекислый газ, содержащей количество вещества =1 моль при температуре Т=300 К. Определить давление р газа: 1)по уравнению Менделеева – Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

83. Давление р кислорода равно 7 МПа, его плотность =100 кг/м . Найти температуру Т кислорода.

84. Трубка имеет диаметр d =0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d этой капли.

85. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить его диаметр от d =1 см до d =11 см? Считать процесс изотермическим.

86.Капиллярная трубка диаметром d=0,5 мм наполнена водой. На нижнем конце трубки вода повисла в виде капли. Эту каплю можно принять за часть сферы радиуса r=3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.

87. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного давления р , если диаметр пузыря d=5 мм?

 

Примеры решений.

 

1. Колесо вращается по закону . Найти в конце первой секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную скорость и полное ускорение точек, лежащих на ооде колеса. Радиус колеса 2 см.

Решение. Согласно определению, угловая скорость

(1)

Линейная скорость

По определению, угловое ускорение , или с учетом (1)

.

Полное линейное ускорение

, где

.

Тогда

 

2. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.

Решение. Рассмотрим движение каждого тела отдельно. На брусок действуют:

m g- сила тяжести, N- сила нормальной реакции плоскости, Т - сила натяжения нити, F - сила трения. Запишем для бруска второй закон Ньютона:

m g+N+ Т + F = m a .

Спроецировав полученное уравнение на выбранные направления осей Х и Y, получим

Т -F = m a , (1)

m g-N=0. (2)

Так как из уравнения (2) следует, что N=m g, то F = N= m g. Тогда [см (1)]

Т - m g = m a . (3)

На груз действуют:

m g- сила тяжести, Т - сила натяжения нити. Запишем для груза второй закон Ньютона:

m g+ Т =m a (4).

Спроецировав уравнение (4) на ось Y, получим

m g- Т =m a . (5)

Складывая уравнения (3) и (5) и учитывая, что Т = Т =Т, а a = a =а, получаем m g-Т+Т- m g=(m + m ) а, откуда

.

Силу натяжения нити находим из уравнения (5):

Т =m g- m a = m (g-a);

T=0,5(9,8-1,2)H 4,3H

 

3. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Найти скорость вагона, если он двигался со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.

Решение. Запишем для снаряда и вагона с песком закон сохранения импульса при неупругом ударе:

(1)

Выбирая направление оси Х совпадающим с направлением движения снаряда и проецируя на нее обе части уравнения (1), получаем

, откуда

Следовательно, направление движения вагона не изменилось.

 

4. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r=20 см был раскручен до частоты вращения n=480 мин и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным, если маховик остановился через t=50c.

Решение. По второму закону динамики вращательного движения твердого тела имеем:

M =J , где J- момент инерции маховика, M и - момент силы трения и угловой ускорения, спроецированные на ось вращения.

Движение равнозамедленное, поэтому угловая скорость изменяется по закону , где - начальная угловая скорость, =2 , конечная угловая скорость =0, отсюда, =0, .

Момент инерции диска относительно оси проходящей через центр инерции равен:

. Подставляя выражения J и в формулу (1), получаем:

M =

Результат расчета в СИ дает тормозящий момент сил трения M=1Hм.

 

5. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г кислорода, при температуре 7 С и давлением 93 Па.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси

р = р + р (1), где р и р - парциальные давления водорода и кислорода при данных условиях. Запишем уравнение Клапейрона –Менделеева для каждого газа в отдельности;

По условию задачи, V =V =V, T =T =T.

Тогда для водорода (2)

Аналогично для кислорода- (3)

Подставим выражения (2), (3) в (1):

Откуда (4)

По определению, плотность смеси газов = m/V (5), где

m=m + m - масса смеси и газов.

Подставим выражение (4) в (5):

 

6. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле , где М- молярная масса вещества.

Подставив числовые значения числовые значения, получим =362 м/с.

Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <l>:

<z>=<v>/<l>.

Подставив в эту формулу значения <v>=362 м/с, <l>=40 нм=4 м, получим

<z>=9,05 c

 

7. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до 30 С при постоянном давлении. Найти работу расширения газа и изменение его внутренней энергии.

Решение. Изменение внутренней энергии углекислого газа при его нагревании от температуры Т до температуры Т найдем по формуле

, где m- масса газа, - молярная масса газа ( =44 кг/моль), i- число степеней свободы, i=6 для трехатомного газа,

R=8,31 Дж/моль К- газовая постоянная, Т и Т - температура газа начальная и конечная по шкале Кельвина.

Подставляя данные в СИ, получаем 83 Дж.

Работа расширения углекислого газа

(1)

По условию задачи, давление углекислого газа p=const. Тогда давление, как постоянную величину, можно вынести из под знака интеграла и выражение (1) примет вид

Из уравнения Клапейрона - Менделеева

Находим объем углекислого газа при температуре Т:

V=mRT/(Mp). Следовательно, при температурах Т и Т углекислый газ будет занимать объемы

и .

Подставим выражения (3) в (1):

 

8. Определить изменение S энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г от объема V =25 л до объема V =100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении энтропии температуру выносят за знак интеграла. Выполнив это, получим . (1)

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики . Для изотермического процесса , следовательно, Q=A, (2)

а работа А для этого процесса определяется по формуле

. (3)

С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид

. (4)

Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим

 

 

9. Определить изменение свободной энергии Е поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема V =10 см до V =2V .

Решение. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорциональна площади S этой поверхности: E= S, (1)

где - поверхностное натяжение.

У мыльного пузыря имеются две поверхности – внешняя и внутренняя, площади которых фактически равны из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря:

E=2 S (2)

Где S- изменение поверхности пузыря (одной – внутренней или внешней).

Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение площади поверхности:

S= , (3)

где r и r - радиусы сфер, соответствующие изначальному V и конечному V объемам: . Теперь формула (3) примет вид . Учитывая, что V =2V : .

Подставим выражение S в формулу (2):

Ответы

Кинематика

1) 8,7 м/с

2) 40 с, 80 м, - 0,1 м/с

3) 14,1 м/с, -10 м/с , 7,07 м/с , -7,07 м/с

4) 2 м/с , 1 м/с , 2,24 м/с

5) 7 м/с, 8,5 М

6) 9б62 м, 14,6 м/с

7) 1,53 км, 3,53 км, 1,02 км

8) 3,58 м/с, 5,37 м/с , 8,22 м/с

9) -0,523 м/с , 150

10) 1,261 1/с