Функции от случайных величин

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента: .

Если Х – дискретная случайная величина, а функция - монотонна, то различным значениям Х соответствует различные значения Y, а вероятности соответствующих значений Х и Y равны:

Если - немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, для которых вероятности находятся, как суммы вероятностей соответствующих значений Х:

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f (x), а функция - дифференцируемая монотонная функция, то для отыскания плотности распределения g (y) случайной величины Y находят:

1. функцию , обратную функции ;

2. функцию ;

3. производную .

Тогда плотность распределения g (y) случайной величины Y будет равна:

. (37)

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y: , [4, c. 207].

Пусть Z = Х + Y. Тогда для отыскания значений Z находят всевозможные суммы значений Х и Y (в случае произведения Х и Y – всевозможные произведения значений, в случае разности – всевозможные разности). Если Х и Y независимы, то вероятности значений Z (в любом из указанных случаев) находят как произведения вероятностей соответствующих значений Х и Y. Таким образом, если z_i = x_j + y_k, то p (z_i) = p (x_j)∙ p (y_k) (аналогично, если z_i = x_j ∙ y_k или z_i = x_j – y_k).

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины можно так же, как и при распределении одномерной дискретной случайной величины, задать аналитически и с помощью таблицы.

(20)

Таблица 5 – Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, Y)

уj xi	у 1	у 2	…	уj	…	уm	Вероятности значений Х
x 1	p 11	p 12	…	p 1 j	…	p1m
x 2	p 21	p 22	…	p 2 j	…	p2m
…	…	…	…	…	…	…
xi	pi 1	pi 2	…	pij	…	pim
…	…	…	…	…	…	…
xn	pn 1	pn 2	…	pnj	…	pnm
Вероятности значений Y

 

В последнем столбце таблицы 5 указаны вероятности значений случайной величины X, а в последней строке – вероятности значений случайной величины Y. Найденные значения вероятностей каждой из случайных величин позволят составить соответствующие этим величинам законы распределения, [5, c. 124].

В случае отыскания условных законов распределения можно воспользоваться формулой (39), подставляя в неё соответствующие определённым условиям значения вероятностей. В формуле (39) приведены вероятности событий . Каждое из них заключается в том, что величина X принимает некоторое конкретное значение при условии, что Y принимает заранее определённое значение .

. (21)

Используя формулу (21) получим условный закон распределения величины X при условии, что Y принимает значение (табл. 6). При этом .

Таблица 6 – Условный закон распределения случайной величины Х

Х	x 1	x 2	…	xi	…	xn
			…		…

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется по формуле: . Её свойства аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины и вытекают из них.

Функция распределения двумерной непрерывной случайной величины может быть найдена через её плотность распределения по формуле (40).

Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины f (x, y) имеет свойства, вытекающие из свойств функции распределения одномерной случайной величины. Для f (x, y) выполняется:

1. .

2.

3. .

 

4. Вероятность попадания случайной точки (x, y), каждая координата которой принадлежит множеству действительных чисел R, в область равна .

5. Плотности распределения и случайных величин соответственно Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) можно получить, зная плотность распределения f (x, y):

;

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей

 

Задача 2.1.1

Покупатель приобрёл телевизор и магнитофон. Вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор, равна 0,85, а для магнитофона она равна 0,98. Найти вероятность того, что

а) оба они выдержат гарантийный срок службы;

б) хотя бы один из них не выдержит гарантийного срока службы.

Решение:

Рассмотрим события:

А - в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор,

В - в течение гарантийного срока не выйдет из строя магнитофон.

По условию задачи

Р (А) = 0,85; Р (В) = 0,98.

а) Пусть событие С заключается в том, что оба они выдержат гарантийный срок службы, тогда С = А · В.

Так как события А и В независимы, то по теореме (13) умножения вероятностей Р (С) = Р (А)· Р (В). То есть Р (С) = 0,85· 0,98 = 0,833 ≈ 83 %.

б) Пусть событие D заключается в том, что хотя бы одно изделие не выдержит гарантийного срока службы. Тогда событие означает, что оба изделия будут исправны:

= С = А · В, Р () = 0,833. Найдём P (D):

P (D) = 1 – P () = 1 - 0,833 = 0,167 ≈ 17 %.

Ответ: а) вероятность того, что оба изделия выдержат гарантийный срок службы, равна 83 %; б) вероятность того, что хотя бы одно из них не выдержит гарантийного срока службы, равна 17%.

 

Задача 2.1.2

Предполагая, что для шахматиста в каждой партии равновероятны три исхода: выигрыш, ничья и проигрыш, найти вероятность того, что из четырёх партий шахматист

а) не проиграет ни одной партии;

б) проиграет хотя бы две партии.

Решение:

а) Рассмотрим события: Н ₁ – выигрыш, Н ₂ – ничья, Н ₃ – проигрыш, В – шахматист не проиграет ни одной партии; В_i – шахматист не проиграет i - ую партию, i = 1, 2, 3, 4.

При этом, В_i = Н ₂ + Н ₃, а В = В ₁ · В ₂ · В ₃ · В ₄. Так как события В_i независимы, то согласно формуле (13), Р (В) = Р (В ₁)· Р (В ₂)· Р (В ₃)· Р (В ₄).

Найдём вероятности событий В_i:

По условию задачи Р (Н ₁)= Р (Н ₂)= Р (Н ₃), а так как эти события образуют полную группу в случае одной партии, то вероятность каждого из них р = . Тогда, согласно формуле (10), так как события Н ₂ и Н ₃ несовместны, Р (В_i)= + = . Следовательно,

б) Пусть события С_i означают проигрыш i партий, i = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда событие С – проиграть хотя бы две партии – можно выразить следующим образом:

.

Событием, противоположным С, будет событие , при этом . Найдём вероятность . Так как события несовместны, по теореме сложения вероятностей (10) получим:

. При этом

Так как для каждой парии, а все партии – независимые испытания, то для отыскания можно использовать формулу Бернулли (16):

.

Тогда

а

Ответ: а) вероятность того, что из четырёх партий шахматист не проиграет ни одной партии, равна 20%; б) вероятность того, что из четырёх партий шахматист проиграет хотя бы две партии, равна 41%.

 

Задача 2.1.3 (о встрече)

Двое приятелей договорились встретиться с 10 до 11 часов в определенном месте, причём пришедший первым ждет в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность встречи.

Решение:

Пусть событие А соответствует встрече. Если за х обозначить время прихода первого товарища, а за у – второго, то условие их встречи можно задать системой неравенств:

На плоскости хОу область , соответствующая общему числу исходов, будет определена системой , а область D, соответствующая числу исходов, благоприятствующих событию А, определяется неравенством (рисунок 1).

Из последнего неравенства получим:

Тогда по определению геометрической вероятности (8), вероятность события А будет равна:

Рисунок 1 – Области для отыскания геометрической

вероятности в задаче 2.1.3

Ответ: вероятность встречи равна

Задача 2.1.4

Доказать, что для событий А и В выполняется: , где - невозможное событие.

Решение:

По свойствам действий над событиями (стр. 9) получим: