Элементы линейной и векторной алгебры

 

Задание 1. Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к матрице А. Сделать проверку.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

 

Задание 2. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1. методом Гаусса;

2. по формулам Крамера;

3. средствами матричного исчисления.

Сделать проверку.

1. 2. 3.

 

4. 5. 6.

 

7. 8. 9.

 

10. 11. 12.

 

13. 14. 15.

 

16. 17. 18.

 

19. 20. 21.

 

22. 23. 24.

 

25. 26. 27.

 

28. 29. 30.

 

 

Задание 3.

1. Векторы и образуют угол φ = 60°, при этом , а . Найти и .

2. Вектор направлен противоположно вектору (6;-9;12) и , найти сумму координат вектора ?

3. Найти работу равнодействующей сил и при перемещении ее точки приложения из начала координат О(0;0;0) в точку М(2;-1;-1). Под каким углом к направлена сила ?

4. Если точки А(1;3;2), С(-1;0;2) и Д(5;-4;1) являются вершинами параллелограмма АВСД, то чему равна длина диагонали ВД?

5. Найдите , если , и .

6. В параллелограмме АВСД заданы (2;-1;4), (-3;2;1), А(5;-3;2), найти сумму координат точки С?

7. Вектор направлен противоположно вектору (6;-12;18) и , найти сумму координат вектора ?

8. Точки А(2;-3;5), В(1;-4;6) и Д(3;6;4) являются вершинами ромба АВСД, то длина АС равна?

9. Найдите , если , и .

10. Найдите , если , и .

11. Найти длину вектора , если , .

12. При каком значении m векторы и будут коллинеарны?

13. Найти косинус внутреннего угла А в треугольнике АВС с вершинами А(-1; 2; 3), В(2; -1; 0), С(-4; 2; -3).

14. При каких значениях m длины векторов и будут равны?

15. Найти скалярное произведение векторов и , если , .

16. Даны точки А(-1;2;2), В(4;2;2). Найти длину вектора .

17. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

18. Какую работу производит сила = (2;-1;-4), приложенная к телу, при его прямолинейном перемещении из точки А(1;-2;3) в точку В(5;-6;1). Под каким углом к направлена сила ?

19. Найти сумму значений α и β, при которых векторы и коллинеарны.

20. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1;2), B(5;-6;2), С(1;3;-1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

21. При каком значении m , если ?

22. Даны векторы, , , . Найти косинус угла между векторами и .

23. Даны вершины треугольника АВС: А(0;1;0), B(3;4;-1), С(-2;-3;0). M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Найти модуль вектора .

24. Доказать, что четыре точки А₁(3;5;1), А₂(2;4;7), А₃(1;5;3) и А₄(4;4;5) лежат в одной плоскости.

25. Даны вершины пирамиды А(5;1;-4), В(1;2;-1), C(3;3;-4), S(2;2;2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

26. Сила F(2;-4;5) приложена к точке О(0;2;1).Определить модуль момента силы относительно точки А(-1;2;3). Под каким углом к ОА направлена сила F?

27. Даны два вектора и , для которых , , . Найти модуль векторного произведения .

28. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0), В(3;2;1), С(-2;1;2).

29. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .

30. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

 

Задание 4. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1) длину ребер A₁A₂, A₁A₃, A₁A₄;

2) угол между ребрами: A₁A₂ и A₁A₄;

3) площадь грани A₁A₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань A₁A₂А₃.

1. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

2. А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4).

3. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9).

4. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8).

5. А₁ (10; 6; 6), А₂ (-2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3).

6. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9).

7. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3).

8. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7).

9. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7).

10. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

11. А₁ (1; -1; 2), А₂ (2; 1; 2), А₃ (1; 1; 4), А₄ (6; -3; 8).

12. А₁ (1; 3; 6), А₂ (2; 2; 1), А₃ (-1; 0; 1), А₄ (-4; 6; -3).

13. А₁ (-4; 2; 6), А₂ (2; -3; 0), А₃ (-10; 5; 8), А₄ (-5; 2; -4).

14. А₁ (7; 2; 4), А₂ (7; -1; -2), А₃ (3; 3; 1), А₄ (-4; 2; 1).

15. А₁ (2; 1; 4), А₂ (-1; 5; -2), А₃ (-7; -3; 2), А₄ (-6; -3; 6).

16. А₁ (-1; -5; 2), А₂ (-6; 0; -3), А₃ (3; 6; -3), А₄ (-10; 6; 7).

17. А₁ (0; -1; -1), А₂ (-2; 3; 5), А₃ (1; -5; -9), А₄ (-1; -6; 3).

18. А₁ (5; 2; 0), А₂ (2; 5; 0), А₃ (1; 2; 4), А₄ (-1; 1; 1).

19. А₁ (2; -1; -2), А₂ (1; 2; 1), А₃ (5; 0; -6), А₄ (-10; 9; -7).

20. А₁ (-2; 0; -4), А₂ (-1; 7; 1), А₃ (4; -8; -4), А₄ (1; -4; 6).

21. А₁ (14; 4; 5), А₂ (-5; -3; 2), А₃ (-2; -6; -3), А₄ (-2; 2; -1).

22. А₁ (1; 2; 0), А₂ (3; 0; -3), А₃ (5; 2; 6), А₄ (8; 4; -9).

23. А₁ (2; -1; 2), А₂ (1; 2; -1), А₃ (3; 2; 1), А₄ (-4; 2; 5).

24. А₁ (1; 1; 2), А₂ (-1; 1; 3), А₃ (2; -2; 4), А₄ (-1; 0; -2).

25. А₁ (2; 3; 1), А₂ (4; 1; -2), А₃ (6; 3; 7), А₄ (7; 5; -3).

26. А₁ (1; 1; -1), А₂ (2; 3; 1), А₃ (3; 2; 1), А₄ (5; 9; -8).

27. А₁ (1; 5; -7), А₂ (-3; 6; 3), А₃ (-2; 7; 3), А₄ (-4; 8; -12).

28. А₁ (-3; 4; -7), А₂ (1; 5; -4), А₃ (-5; -2; 0), А₄ (2; 5; 4).

29. А₁ (-1; 2; -3), А₂ (4; -1; 0), А₃ (2; 1; -2), А₄ (3; 4; 5).

30. А₁ (4; -1; 3), А₂ (-2; 1; 0), А₃ (0; -5; 1), А₄ (3; 2; -6).