Образец выполнения контрольной работы №7

Задание 1. Исследовать на сходимость, применяя признаки сравнения

а)

Решение: Так как , то , откуда . Ряд расходится, значит, расходится и больший ряд .

б)

Решение: Учитывая, что и числитель, и знаменатель дроби

неограниченно растут при , запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений:

.

Так как ряд сходится, то сходится исходный ряд.

в)

решение:

Так как , то . Ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд.

Задание 2. Исследовать на сходимость ряды, применяя, признак Коши (радикальный).

а) . б) .

Решение:

а) Учитывая, что

,

 

и , получим

.

Исходный ряд сходится по признаку Коши.

б) Так как , то остается найти пределы и .

1) Поскольку , где , то по правилу Лопиталя , откуда (следствие из 2-го замечательного предела), то . Отсюда

, и, значит, исходный ряд сходится.

 

Задание 3. Исследовать на сходимость, применяя признак Даламбера.

а) . б) .

Решение: а) Преобразуем выражение :

.

Так как при , то и при .

Значит, ,

И исходный ряд сходится по признаку Даламбера.

б) Поскольку

то (2-й замечательный предел), и, значит, исходный ряд расходится.

 

Задание 4. Исследовать на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

Решение: Так как , то . Проверим применимость интегрального признака Коши. Очевидно, что функция непрерывна и принимает только положительные значения на промежутке . Убедимся, что монотонно убывает на этом промежутке.

Пусть . Тогда и , откуда .

Итак, функция положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке , значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости.

Найдем неопределенный интеграл :

.

Первообразной для функции является, например, функция . Вычисляя несобственный интеграл , получим

.

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

 

Задание 5. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

а) ; б) .

Решение:

а) 1) ряд из модулей: ;

2) исследуем ряд из модулей с помощью признака сравнения (предельного):

- сходящийся ряд.

ряд тоже сходится;

3) Исходный ряд сходится абсолютно.

б)

1) ряд из модулей: является расходящимся (гармонический ряд);

2) проверим условия признака Лейбница:

1. - выполняется;

2. - выполняется.

3) т.к. оба условия признака Лейбница выполнены, ряд исходный сходится условно.

Задание 6. определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости.

а) . б) .

Решение:

а) Воспользуемся признаком Коши:

при всех . Следовательно, ряд сходится в каждой точке числовой прямой .

б) .

Применяем признак Даламбера:

.

(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши .) Отсюда следует, что при (т.е. при ) ряд сходится абсолютно, при расходится. Таким образом, интервал -интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т.е. в точках и

При получим знакочередующийся ряд

Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости .

При получим ряд

Этот ряд расходится по той же причине, так как

Итак, область сходимости данного ряда - интервал (-1,1).

 

Задание 7.

Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение

Продифференцируем функцию раз: .

 

Находим значения функций: в точке , а значение определяем в точке (см. остаточный член в форме Лагранжа). Получаем:

Находим остаточный член:

, т.е. .

Так как при любом , а - величина ограниченная, то . Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена

Задание 8. Проинтегрировать, применяя разложение в ряд.

с точностью до 0,0001

Решение: Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, полагая в нем

Этот ряд сходится к биному при . Интегрируя в пределах от 0 до , найдем

Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося сходящего ряда (с одним лишним знаком): .

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда .

Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т.е. меньше .

 

Задание 9. Решить уравнение с помощью степного ряда.

Пример 1. Найти решение уравнения ,

если при .

Решение. Полагаем

Отсюда, дифференцируя, получим:

Подставляя и в данное уравнение, приходим к тождеству

Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь

и т.д.

Вообще,

.

Следовательно,

где и .

 

Задание 2. Найти решения уравнения .

Решение: Из уравнения начальных условий находим . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

. Искомое решение имеет вид

.

Задание 10. Вычислить с точностью до 0,001: а) б) .

Решение: а) Возьмем ряд для функции .

который сходится к в интервале , и, полагая , получим ряд для вычисления с любой точностью:

Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближенного значения с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда

.

б) Преобразуем, данный корень и принимаем биномиальный ряд, полагая , .

.

Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: .

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше . Следовательно, .

 

Задание 11. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями

.

Решение: Указанная область ограничена правыми ветвями парабол и вертикальными прямыми . Так как область D является правильной в направлении оси ОY, приведем двойной интеграл к повторному по формуле

(внешнее интегрирование ведется по переменной х, а внутреннее – по y).

 

 

 

 

 

Задание 12. Вычислить двойной интеграл, используя переход к полярным координатам .

 

Решение. Область интегрирования D ограничена полуокружностями одной окружности, .

Преобразуем уравнения границ к полярным координатам.Подставим формулы перехода в уравнение окружности. Так как , то уравнение окружности преобразуется к виду . Поэтому областью D^* является область, снизу ограниченная осью , сверху косинусоидой , причем .

 

 

а

 

 

Задание 13. Вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями ; .

Решение: Построим данную фигуру (рис. 25).

 

 

 

Найдем аналитически т. пересечения линий:

.

В области D справедливы неравенства: .

Искомая площадь:

 

Задание 14.

Вычислить объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью , плоскостями .

Решение: Данное тело ограничено координатными плоскостями (ХОZ), (ХОУ), плоскостью , параллельной плоскости ХОZ, проходящей через т. и параболическим цилиндром . Построим данное тело и его проекцию.

 

Искомый объем .

 

Задание 15. Вычислить массу материальной пластинки, принадлежащей плоскости Оху, и ограниченной линиями , если её поверхностная плотность .

Решение.

Напомним, что из физического смысла интеграла следует, что масса m материальной пластинки D вычисляется по формуле:

,

где плотность, с которой распределена масса.

Построим линии, ограничивающие пластинку:

кв. парабола с осью симметрии ;

прямая, походящая через т. (0; -1); (1;0)

 

 

 

 

 

Точка пересечения линий:

Пластинка АВС – правильная область в направлении оси Ох,

 

Задание 16. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область интегрирования V ограничена поверхностями .

Решение. Указанная область V ограничена снизу восходящим параболоидом вращения с вершиной в точке (0,0,0), сверху - нисходящим параболоидом вращения с вершиной (0,0,8) (рис.2.3.).

 

Найдем линию пересечения поверхностей, исключив переменную z из уравнений параболоидов: .

Имеем окружность в плоскости z=4. Таким образом, проекция области V на плоскость Oxy есть окружность , для точек которой верны неравенства .

Значит,

.

 

 

Задание 17. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную поверхностями

Решение. Тело представляет полуконус с осью симметрии OY, ограниченный плоскостью y=2.

Ввиду симметрии тела относительно OY координаты , а

.

Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам Тогда

Значит центр масс С (.

Задание 18.

Вычислить момент инерции относительно оси ОY однородного тела V, ограниченного поверхностью и плоскостью y=1, плотность

принять равной 1.

Решение. Моменты инерции относительно координатных осей вычисляются согласно формулам

, здесь - объемная плотность.

Тело V ограничено параболоидом вращения с осью симметрии ОY, отсеченным плоскостью y=1.

Тогда искомый момент

.

Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам

 

 

Контрольная работа №8