Методика расчета показателей надежности восстанавливаемых систем

Способ расчета ПН восстанавливаемых систем с использованием ЛВМ имеет существенные отличия от вышерассмотренного подхода к расчету надежности систем без восстановления. Для этого случая предложена точная математическая модель, в основу которой положено составление исходной ФАЛ в виде конъюнкции отрицаний возможных МСО (см. формулу 3.2). Кроме обязательной записи ФАЛ для условия работоспособности системы через отрицания МСО, она к тому же не преобразуется в бесповторную форму. Полу­ченную исходную ФАЛ рекомендуется упростить с помощью операции вынесения за скобки одинаковых членов в некоторых конъюнкциях. При этом должна быть сохранена конъюнктивная форма записи ФАЛ. Сгруппи­рованные члены конъюнкций называют звеньями схемы ненадежности системы . ФАЛ будет иметь вид:

; .

Каждое звено представляет собой параллельное соединение всевозможных минимальных наборов элементов, образующих ветвь, совместный отказ которых приводит к отказу системы в целом.

Представим функцию работоспособности, записанную через отрицания МСО для НФС, показанной на рис. 3.1, в виде конъюнктивно­го набора звеньев:

.

Расчет ПН системы производится при следующих допущениях:

1) несмотря на повторную форму ФАЛ, зависимость отказов элементов отсутствует;

2) восстановительный ресурс не ограничен, а восстановление начинается немедленно после отказов;

3) потоки отказов и восстановлении элементов и системы близки к простейшим.

В расчете используются следующие соотношения:

а) ПН ветвей звеньев, состоящих из n элементов:

;

; ; (3.8)

 

б) ПН звеньев, состоящих из m ветвей:

Учитывая, что и ,можно записать:

(3.9)

 

в) ПН системы, состоящей из r звеньев:

;

(3.10)

В заключение отметим, что если для восстанавливаемой системы требуется рассчитать только показатель , то это можно сделать с приемлемой пог­решностью по методу для систем без восстановления с составлением бесповторной ФАЛ и использованием формул (3.3) - (3.5) для перехода к ВФ, в которой в левой части вместо записывается , а в правой - вместо — .

Анализ рассмотренных методик позволяет оценить сильные и слабые стороны ЛВМ и тем самым определить область его применения:

1) ЛВМ позволяет оценивать качество структуры (структурную надежность) систем и степень влияния на ПН системы ее отдельных элементов;

2) ЛВМ применим при любых законах распределения случайных величин;

3) с помощью ЛВМ можно производить количественный расчет различных ПН невос­станавливаемых и восстанавливаемых систем с НФС любой сложности, если логические условия их нормального функционирования графически описываются последовательно-параллельными или сетевыми струк­турными схемами, а системы и их элементы харак­теризуются только двумя устойчивыми состояниями пол­ной работоспособности или полного отказа.

Примеры решения задач

Пример 1. Для восстанавливаемой системы с НФС, показанной на рис. 3.5, известны ПН элементов:

; ; .

Рассчитать ПН системы: и при .

Решение: записываем функцию работоспособности в соответствии с формулой (3.2):

.

ПН ветвей:

;

;

.

Остальные ветви состоят из одиночных элементов, поэтому для них ПН ветвей совпадает с ПН элементов.

ПН звеньев:

; ; ; ;

 

;

;

;

;

.

ПН системы:

;

; ;

.

Проверим расчетное значение , использовав выражение для невосстанавливаемой системы из примера 5 (п. 3.4).

; ;

.

Сопоставление результатов расчетов обоими методами позволяет сделать вывод о их достаточно близком совпадении.

 

3.8 Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте условия применимости ЛВМ для расчета надежности сложно- структурных систем.

2. Какие основные способы описания логических условий работоспособности систем используют в ЛВМ?

3. Что понимают под СДНФ и СКНФ?

4. Назовите основные правила перехода от ФАЛ к ВФ.

5. Какую ФАЛ называют бесповторной?

6. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную по методу «треугольник – звезда»?

7. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную для метода алгоритма разрезания?

8. Чем различаются методики аналитической оценки ПН для восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем при использовании ЛВМ?

9. Как с помощью ЛВМ по известным - и - характеристикам элементов рассчитать ПН и системы?

10. В каких случаях показатель рассчитывают, используя повторную или бесповторную форму ФАЛ?

11. Перечислите основные достоинства и недостатки ЛВМ.