Глава I. Функция и ее предел

Множества

 

1. Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.

Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита:

Например, – элемент принадлежит множеству ; –элемент не принадлежит множеству ;

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так:

Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, – множество состоит из трех чисел 1, 8, 6; – множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: ( включено в ) или (множество включает в себя множество ).

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и , то , следовательно, говорят, что множества и равны или совпадают.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству . Записывают или .

Разностью множеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают .

2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:

- следует, т.е. из предложения следует предложение ;

- равносильно, т.е. и ;

- для любого, для всякого;

- существует, найдется;

- имеет место, такое что;

- соответствие.

Например, – для любого элемента из множества имеет место предложение ; объединение множеств и .

3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Например:

– множество натуральных чисел;

– множество целых неотрицательных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение .

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.

Например:

– (конечная десятичная дробь); – (бесконечная периодическая дробь).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.

Например, , .

4. Пусть и – действительные числа, причем .

Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

		– полуоткрытые интервалы;
	– бесконечные интервалы;

Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть точка –любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку .

Интервал , где , называется – окрестностью точки , число – центр интервала, число – радиус интервала.

Если , то выполняется неравенство

.

Это означает попадание точки в – окрестность точки .

 

Понятие функции

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Определение. Если каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция ( - знак функции).

Переменную называют аргументом или независимой переменной, а переменную – зависимой переменной от х; множество – областью определения функции , а множество – множеством значений функции , – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: , , , и так далее.

 

 

Примеры.

1) , .

2) , .

 

3) или , .

 

4) , .

 

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функция называется числовой.

Частное значение функции при обозначают так: .

Например,

График функции – это множество точек плоскости с координатами , где , для каждой из которых является значением аргумента, а является соответствующим значением функции.

 

Способы задания функции.

1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.

Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.

 

2. Графический: задается график.

 

3. Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.

4. Словесный: функция описывается правилом ее составления.

Например, функция Дирихле , если

, если – иррациональное.