Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

1) (1)

2) (2)

3) (3)

4) (4)

5) (5)

6) (6)

7)

 

Ряд Фурье.

Определение: Тригонометрический ряд — (1)

Числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если тригонометрический ряд сходится, то на интервале сходимости он также является -периодической функцией. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке , то в силу периодичности он также сходится на любом отрезке числовой оси, и его сумма является непрерывной функцией во всех точках интервала сходимости.

 

ТЕОРЕМА 1. Пусть — -периодическая, непрерывная на или имеющая конечное число точек разрыва I рода функция. Тогда разложение в тригонометрический ряд существует, и его коэффициенты равны:

(2)

(3)

Определение. Коэффициенты и , которые определяются по формуле (1), называются коэффициентами Фурье для функции .

Определение. Ряд Фурье для функции — это тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье для функции .

Если ряд Фурье для функции сходится к во всех точках её непрерывности, то говорят, что разлагается в ряд Фурье.

 

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗЛОЖИМОСТИ В РЯД ФУРЬЕ

Определение. Пусть монотонна на каждом из промежутков, на который разбивается отрезок , и этих промежутков конечное число. Тогда называется кусочно-монотонной на .

 

ТЕОРЕМА 2 (теорема Дирихле). Пусть -периодическая, кусочно-монотонная и кусочно-непрерывная на , причём имеет точки разрыва только I рода. Тогда:

1. Ряд Фурье функции сходится при всех значениях x, причём в точках непрерывности его сумма равна , а в точках разрыва .

2. Ряд Фурье функции равномерно сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности функции .

 

Определение. называется кусочно-гладкой на , если и непрерывны на , или имеют конечное число разрывов I рода.

ТЕОРЕМА 3. Пусть -периодическая, кусочно-гладкая на . Тогда имеют место утверждения (1) и (2) предыдущей теоремы.

 

 

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

Для чётной -периодической функции коэффициенты разложения в ряд Фурье: (1) , ,

Аналогично, для нечётной -периодической функции коэффициенты Фурье:

(2) , ,

Собственно разложение: (3) ,

— чётная, -периодическая функция, из (1).

(4) ,

— нечётная, -периодическая функция, определять по (2).

Пример 1: Функция — -периодическая и на .

Разложить в ряд Фурье.

Достаточно получить разложение на отрезке и продолжить на всю ось как периодическую функцию. — нечётная, поэтому разложение находим по формуле (4), коэффициенты найдём по формуле (2).

 

Коэффициенты Фурье находятся по формуле:

 

 

 

 

Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом.

Пусть — периодическая с периодом , на отрезке длины непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.

Тогда ряд Фурье имеет вид:

; ;

Для чётной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье:

 

Для нечётной функции с периодом :