Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.

Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного z оп­ределяются равенствами, верными для любого z:

Эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.

Между указанными функциями существуют следующие соотношения:

(1)

(2)

(3)

(4)

называемые формулами Эйлера.

Cпомощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометричес­кой форме может быть представлено в показательной форме

475. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число

∆ Находим Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид а показательная форма—вид ▲

476. Представить в показательной форме число

∆ Имеем т. е. ▲

477. Записать в алгебраической форме

∆ Воспользуемся формулой (1):

478. С помощью формулы Эйлера доказать, что

∆ Так как то

▲

 

479. Представить в показательной форме число

480. Представить в показательной форме число

481. Записать в алгебраической форме

482. Показать, что

483. Выразить линейно через и .

484. С помощью формулы Эйлера показать, что имеет бес­численное множество значений, которые все являются действи­тельными.

РЯД ФУРЬЕ

Рядом Фурье периодической функции f(х) с периодом 2π, определенной на сегменте называется ряд

(1)

где

,

,

Если ряд (1) сходится, то его сумма S (х) есть периодическая функция с периодом 2π, т. е.

Теорема Дирихле. Пусть функция f(х) на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной ва исключением конечного числа точек разрыва I рода (т. е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма S (х) этого ряда:

1) S (x) = f(x) во всех точках непрерывности функции f(х), лежащих внут­ри сегмента

2) где x₀—точка разрыва I рода функции f(х);

3) на концах промежутка, т.е. при

Если функция f(х) задана на сегменте , где l —произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда f(x) — четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т. е.

где

В случае, когда f(х)- нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т. е.

где

Если функция задана на сегменте [0, l ], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ез на сегменте [— l, 0] произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, счи­тая ее заданной на сегменте [— l, l ]. Наиболее целесообразно функцию до­определить так, чтобы ее значения в точках сегмента [— l, 0] находились из условия = f (— х) или = — f (— х). В первом случае функция на сегменте [— l, l ] будет четной, а во втором—нечет­ной. При этом коэффициенты разло­жения такой функции (а_т в первом случае и b_т — во втором) можно определить по вышеприведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

485. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π, заданную в интервале (—π, π) у равнением f(х)= π +х.

∆ Графиком этой функции в интервале (—π, π) является отрезок, соеди­няющий точки (—π; 0) и (π;2π). На рис. 29 изображен график функции у=S(х), где S(x) —сумма ряда Фурье функции . Эта сумма является периодической функцией с периодом 2 π и совпадает с функцией f(х) на сег­менте [—π, π].

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом, я

 

 

Далее, находим коэффициенты а_т. Имеем

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, а_m= 0, т. е. а₁ = а₂ = а₃=... =0. Найдем теперь коэффициенты b_т:

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интег­рала—четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,

Интегрируя по частям, получим , т. е.

Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид

▲

486. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом 2, заданную на сегменте [—1,1] уравнением f(х) = х² (рис. 30).

∆ Рассматриваемая функция является четной. Ее график—дуга парабо­лы, заключенная между точками (—1; 1) и (1; 1). Так как l=1, то

Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:

1)

2)

Так как рассматриваемая функция—четная, то b_т = 0. Следовательно,

▲

487. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, задан­ную на полупериоде [0,2]

уравнением

∆ Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количест­вом способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

1) Доопределим функцию f(x) на сегменте [—2, 0] четным образом (рис. 31).

Имеем l= 2,

Интегрируем по частям:

Еще раз интегрируем по частям:

Итак,

 

2) Доопределим функцию f(х) на сегменте [—2,0] нечетным образом (рис. 32):

,

Итак,

▲

488. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе­риодом 2l (рис. 33), заданную на сегменте [—l, l] следующим образом:

0 при -l ≤ x ≤ 0,

f(x)= x при 0 ≤ x≤ l/2,

l/2 при l/2 ≤x ≤ l.

 

∆ Находим

 

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

откуда

Определяем коэффициенты b_m:

 

К первому интегралу применяем интегрирование по частям:

Имеем

 

Если .

……………………………………………………

Следовательно,

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (х) с перио­дом T, заданную на указанном сегменте.

489. f(х) = х; T= 2π; [—π, π ].

490. f(x) = |x|; Т = 2; [-1, 1].

491. f(x) = е^x; Т = 2π; [— π, π].

492. f(х) = х³; Т = 2π; [— π, π].

493. f(х) = π —2x;; Т = 2π; [0, π]. Продолжить f(x) на сегмент
[—π, 0]: 1) четным образом; 2) нечетным образом.

494.

495. .

496. f(х) = х² Т = 2 π; [0, π]. Продолжить f(x) на сегмент
[—π, 0] нечетным образом.

497.

498. f(х) = соs 2х; T = 2 π; [0, π]. Разложить в ряд по синусам.

499. f(x) = x; Т = 2; [0, 1]. Разложить в ряд по синусам.

500. . Разложить в ряд по косинусам.

§ 9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Если функция f(х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном

отрезке оси Ox и абсолютно интегрируема вдоль всей оси (т. е.

сходится), то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая

предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с периодом 21 при l —>∞):

(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение f (x) принимается (1/2) [f(х₀ —0)+f(x_о+0)], где х₀ — абсцисса точки разрыва). Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме:

Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде

а для нечетной функции—в виде

 

С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преоб­разования Фурье:

1. Преобразование Фурье общего вида:

(обратное).

(прямое).

2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций):

(прямое),

(обратное).

3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):

(прямое),

(обратное).

Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегри­руемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию f(х) на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование — четным.

Примечание. В интегральных формулах Фурье все интегралы вида

понимаются в смысле главного значения, т. е.

501. Найти косинус- и синус-преобразования функции

∆ Имеем

Так как то

Аналогично получаем

В свою очередь, применив косинус- и синус-преобразования Фурье к функциям и , получим функцию f (х), т. е

Отсюда получаем интегралы Лапласа:

▲

502. Пусть функция f(х) определена равенствами

1 при 0 ≤ x < a

f(x)= 1/2 при x = a;

0 при x < 0.

Найти ее косинус- и синус-преобразования (рис. 34).

∆ Находим косинус-преобразование данной функции:

Найдем теперь синус-преобразование:

Отсюда получаем

 

(разрывный множитель Дирихле) и

503. Найти преобразование Фурье функции

∆ По формуле преобразования Фурье

используя вид функции f(х), находим

Первый и последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим осталь­ные интегралы соответственно через I₁, I₂ и I₃ и вычислим их:

Итак,

504. Найти преобразование Фурье функции

505. Найти преобразование Фурье функции

506. Найти синус- и косинус-преобразования Фурье функции