Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяемая точка находится вблизи этой окружности.

Задача о четвёртой точке (задача Потенота) решается с наибольшей точностью, если: а) определяемая точка лежит внутри треугольника, образованного исходными пунктами Т₁, Т₂ и Т₃ (см. рис. 4), сумма углов β₁ и β₂ всегда больше 180°;

б) определяемая точка лежит вне треугольника, образованного исходными пунктами Т₁, Т₂ и Т₃ (см. рис. 6), углы β₁ и β₂ должны быть не менее 30 и не более 150°;

в) расстояние между определяемой точкой Р и любым исходным пунктом Т должно быть не менее 0,8 - 1,0 км.

 

1.1 Вычисление радиусов окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂

По формулам:

(39)

 

определить радиусы окружностей,

где ,

,

 

1.2 Вычисление координат центров окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂ (рис. 4)

 

Рабочие формулы:

;

;

(40)

;

,

 

где X_i, Y_i - координаты исходных пунктов (i=1, 2, 3); b_1,2; b_2,3 - расстояния между исходными пунктами; X_O1, Y_O1 и X_O2, Y_O2 - координаты центров окружностей, проведённых через определяемую точку Р и исходные пункты Т₁-Т₂ и Т₂-Т₃.

 

 

- 19 -

1.3 Вычисление длины базиса В - расстояния между центрами окружностей, вмещающих измеренные на определяемом пункте Р углы β₁ и β₂

. (41)

 

1.4 Вычисление углов φ₁ и φ₂ при базисе В и угла τ

Вычисление углов φ₁, φ₂ и τ вычисляют по формуле, предложенной Хмелевским Ю.С.

, , (42)

 

 

, (43)

 

где - полупериметр.

Контроль: φ₁ + φ₂ + τ = 180°

 

1.4 Вычисление координат пункта Р и точки Коллинса P' (рис. 4)

по формулам Юнга

 

, (44)

 

 

, (45)

 

 

, (46)

 

- 20 -

, (47)

 

 

1.5 Решение обратных геодезических задач. Вычисление углов β₁ и β₂ с целью разрешения неоднозначности вычисления координат пункта Р

 

 

Рабочие формулы решения

Обратных геодезических задач

 

, , (48)

 

, (49)

 

, (50)

 

, , (51)

 

, (52)

 

. (53)

 

Формулы вычисления углов

β₁ и β₂

 

, , (54)

 

, , (55)

 

 

- 21 -

 

Если значения углов - величины отрицательные, то к ним следует прибавить 360°.

Совпадение вычисленных углов с измеренными позволяет однозначно определить определяемый пункт Р. В то же время, совпадение координат точки Р' с координатами пункта Т₂, является дополнительным контролем правильности определения координат пункта Р.

 

 

1.6 Оценка точности определения положения пункта Р

 

Точность положения пункта Р (без учёта ошибок исходных пунктов) в задаче Потенота определяется формулой

 

, (56)

 

где ω - угол между исходными сторонами 2 - 1 и 2 - 3.

 

, (57)

 

- полупериметр исходных сторон.

 

, (58)

 

где i = 1, 2, 3 - номера сторон S и исходных (твёрдых) пунктов Т.

 

- 22 -

 

 

Решение задачи Потенота рассмотрим на примере.

 

 

 

Рис. 6. Решение задачи Потенота

 

- 23 -

Таблица 5

Исходные данные и измеренные величины

№ (названия) пунктов	К о о р д и н а т ы, м	Измеренные углы β
X	Y
Т1	+ 49 052,900	+ 36 940,200	β 1= 98° 11' 15.0"
Т2	+ 45 587,500	+ 35 640,700	β 2 = 112° 53' 03.0"
Т3	+ 49 326,100	+ 33 321,100

 

Вычисление радиусов R₁, R₂ окружностей, вмещающих углы β ₁, β ₂ и длин исходных сторон b_1,2, b_1,3, b_2,3 (см. рис. 4, 5 и формулы

(39 - 41).

R₁ = 1 869,576 м; R₂ = 2 387,805 м;

b_1,2 = 3 701,040 м; b_1,3 = 3 629,397 м; b_2,3 = 4 399,136 м.

 

Вычисление координат (X_o1, Y_o1, X_o2, Y_o2) центров окружностей, вмещающих измеренные углы β ₁, β ₂, и длины базиса В между центрами (см. рис. 4, 5 и формулы 40, 41)

Таблица 6

Координаты центров окружностей

и длина базиса между центрами

№ точек	Xo1, м	Yo1, м
B, м
O1	+ 47 226,714	+ 36 539,750
O2	+ 46 967,259	+ 33 691,885
B	2 859, 659

 

Вычисление углов φ₁, φ₂, τ, ω (см. рис. 4, 5 и формулы: 42, 43, 57)

φ₁= 56°03'04,47"; φ₂ = 40°30'14,52"; τ = 83°26'41,00";

ω = 52°22'23,00"

Контроль: φ₁+ φ₂+ τ = 180°00'00,00"

Вычисление координат определяемого пункта Р и точки Коллинса P' по формулам Юнга (см. рис. 4, 5 и формулы 44 - 47)

 

Таблица 7

Координаты определяемого пункта Р и точки Коллинса

№ точек	XP, м	YP, м
XP', м	YP', м
Р	+ 45 587.500	+ 35 640.700
Р'	+ 48 676.473	+ 35 359.278

 

 

- 24 -

Решение обратных геодезических задач с целью разрешения неоднозначности вычисления координат пункта Р (см. рис 4, 5 и формулы 48 - 55)

Таблица 8