Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Точка перегиба.

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x ₀, f (x ₀)), x ₀ (a, b).

Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x ₀, f (x ₀)), x ₀ (a, b).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, чтоесли в точке перегиба x ₀ существует вторая производная f '' (x ₀), то f '' (x ₀) = 0.

П р и м е р.

Рассмотрим график функции y = x 3 : Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0при x < 0,следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x <0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3.

Вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции одной переменной.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

или (рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x₀ , следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот Например, для кривой , вертикальной асимптотой будет прямая , так как , . Вертикальной асимптотой графика функции является прямая (ось Оу), поскольку .

Горизонтальные асимптоты Определение. Если при () функция имеет конечный предел, равный числуb: , то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции . Например, для функции имеем , .Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви. В том случае, если , график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (), если выполняется равенство .