Дифференциальное волновое уравнение. Понятие о фазовой и групповой скорости. Энергия, переносимая волной. Поток энергии.

Уравнение волны в дифференциальной форме обычно называют волновым уравнением; вид этого уравнения следующий: или ΔS -оператор Лапласа: . Уравнение синусоидальной волны является решением волнового уравнения (можно проверить подстановкой). Общее же решение волнового уравнения следующее: . Здесь А и В - произвольные константы, а f₁ и f₂ - произвольные дважды дифференцируемые функции. Первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся слева направо, второе - встречную волну.

Скоростью волны v называется скорость перемещения волновой поверхности (фазовая скорость). Экспериментально ее можно найти, определив скорость перемещения фронта волны

Групповая скорость — это скорость перемещения группы или цуга (пакета) волн: скорость перемещения огибающей волнового пакета. При отсутствии поглощения в среде групповая скорость совпадает со скоростью перемещения энергии этой группы волн. Если среда, в которой распространяется рассматриваемая группа волн, не обладает дисперсией (или форма волны изменяется в результате дисперсии не очень быстро), то групповая скорость совпадает с фазовой, так как все волны, входящие в группу, распространяются с одной и той же фазовой скоростью.

Распространение волн связано с переносом энергии. При этом частицы среды не переносятся волной, а совершают колебание около положения равновесия. Скорость колеблющейся частицы равна: Кинетическая энергия частиц, заключенных в объеме , равна . Масса выделенного объема m равна: , где ρ - плотность среды. Тогда значение кинетической энергии выделенного объема равно: . Выделенный объем обладает также потенциальной энергией . Можно показать, что , где . Следовательно, кинетическая энергия выделенного объема равна потенциальной энергии. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии . Полная энергия, возникающая в упругой среде при распространении в ней плоской гармонической волны, равна Плотностью энергии называется энергия, заключенная в единице объема, т. е. Из формулы следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. Среднее значение плотности энергии определяется средним значением квадрата синуса Следовательно, среднее по времени значение плотности энергии в данной точке среды равно

Поток энергии

Билет №25

Вопрос №2

Конденсированные состояния. Кристаллы. Основные типы структур. Общине характеристики простейших структур: координационное число, число атомов в элементарной ячейке, коэффициент упаковки. Тепловое движение атомов в твердом теле. Классическая теория теплоемкости твердого тела.

Конденсированное состояние - твёрдое и жидкое состояния вещества. В отличие от газообразного состояния, у вещества в конденсированном состоянии существует упорядоченность в расположении частиц (ионов, атомов, молекул). Кристаллические твёрдые тела обладают высокой степенью упорядоченности — дальним порядком в расположении частиц. Частицы жидкостей и аморфных твёрдых тел располагаются более хаотично, для них характерен ближний порядок.

Криста́ллы (от греч. κρύσταλλος, первоначально — лёд, в дальнейшем — горный хрусталь, кристалл) — твёрдые тела, в которых атомы расположены закономерно, образуя трёхмерно-периодическую пространственную укладку — кристаллическую решётку.

Металлы имеют относительно сложные типы кубических ре­шеток - объемно центрированная (ОЦК) и гранецентриро­ванная (ГЦК) кубические решетки.

В основе классической теории теплоёмкости твёрдых тел (кристаллов) лежит закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Твёрдое тело рассматривается как система N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. Атомы совершают тепловые колебания около положений равновесия, и если они малы, то их можно рассматривать как гармонические. На каждую степень свободы приходится в среднем энергия kT (в виде кинетической и в виде потенциальной, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура тела). Имея в виду, что число колебательных степеней свободы равно 3N, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов U=3NA kT=3RT, где NA – число Авогадро, R=kNA – универсальная газовая постоянная. Отсюда молярная теплоёмкость твёрдого тела:.