Вычисление в декартовых координатах

Пусть областью интегрирования  является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху – поверхностью , причем  и  - непрерывные функции в замкнутой области , являющейся проекцией тела на плоскость . Будем считать, что любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более, чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области  функции  имеет место формула .

Если область :  и , где  и  - непрерывные на отрезке [ ] функции, причем , то переходя от двойного интеграла по области  к повторному, получаем формулу:

Вычисление в цилиндрических координатах

, , .

.

Вычисление в сферических координатах

, , .

.

Экстремумы функции двух переменных

Необходимые условия существования экстремума

Если функция  имеет экстремум в точке , то в этой точке (критической)  или не существует;  или не существует.

Достаточные условия

В критической точке вычисляем , , , .

Если , то экстремум есть, причем при  минимум, при  максимум.

Если , то экстремума нет.

Дифференциальные уравнения

Определения. Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным. .

Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Задача Коши

Для уравнения  найти решение , удовлетворяющее начальному условию .

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши)

Если в уравнении  функция  и ее частная производная  непрерывны в некоторой области , содержащей точку (), то существует единственное решение  этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Теорема Пеано

Если  и , функция  непрерывна в некоторой окрестности точки (), то существует  такое, что в интервале  существует единственное решение уравнения .

Аналогичная теорема имеет место и для систем дифференциальных уравнений.

Решение линейных дифференциальных уравнений

Определение. Линейным уравнением первого порядка называются уравнения вида .

Пример. . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Ряды

Определения. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение , где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,  - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный, как функция его номера: .

Сумма первых  членов ряда называется й частичной суммой ряда и обозначается через , то есть .

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда, и говорят, что ряд сходится. Записывают . Если  не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Признак расходимости (самый простой)

Если для ряда , то ряд  расходится.

Признаки сходимости. Признак Даламбера (часто применяется)

Если для ряда  с положительными членами существует , то при  ряд сходится, при  ряд расходится.