Управляемости и наблюдаемости

Метод пространства состояний (метод переменных состояния) основан на понятии «состояние системы». Состояние динамической системы описывается совокупностью физических переменных , характеризующих поведение системы в будущем при условии, если известно состояние в исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.

В общем случае описание системы в переменных состояния имеет вид

.  (6)

Если функции  линейны относительно переменных и не зависят от времени t, то их можно привести к виду

(7)

В матричной форме выражение (7) имеет вид

   (8)

Такое выражение для многомерной системы (u >1) в более компактном виде записывается через матричные операторы следующим образом:

.                           (8 а)

где  и  – вектор столбцы, содержащие все переменные состояния и входные сигналы соответственно;

A – матрица динамики (состояния) объекта или системы размерностью n ´ n, (n – размерность вектора х), показывает влияние координат состояния друг на друга, элементами матрицы являются коэффициенты дифференциальных уравнений (7)

B – матрица управления (входа) размерностью n×m, (m – размерность вектора u), в случае одномерных систем матрица управления – вектор-столбец. Матрица входа показывает влияние входа на каждую координату состояния и имеет вид

Для полного описания системы в пространстве состояний к уравнениям динамики (8) или (8 а) необходимо добавить уравнения, устанавливающие связи между переменными состояния и выходными переменными , между входными сигналами и выходными переменными . Эта связь выражается в виде системы линейных алгебраических уравнений вида

  (9)

или в векторно-матричной форме выглядит как:

,                                  (9 а)

где  – матрица-столбец выходных сигналов системы;

C – матрица выхода размерностью r×n,(r – размерность вектора y), в случае одномерных систем матрица выхода – вектор-строка. Матрица выхода показывает влияние каждой координаты состояния на выход системы и имеет вид

;

D – матрица обхода (компенсации или усиления по входу), связывающаямежду собой входные и выходные сигналы напрямую. В реальных системах чаще всего такая связь отсутствует. Размерность матрицы обхода r×m. Для одномерных систем размерность матрицы обхода (1×1).

Для одномерных систем описание в пространстве состояний выглядит следующим образом:

.     (10)

Таким образом, описание САУ в пространстве состояний в векторно-матричной стандартной форме Коши выглядит как система двух уравнений, первое из которых называется уравнением динамики, а второе уравнением выхода:

.                               (11)

Выражение (11) наглядно иллюстрируется условной блок-схемой, изображенной на рис. 3.

Имея описание САУ в пространстве состояний в виде матриц {A, B, C, D} можно получить передаточную функцию описываемого объекта, если произвести следующую операцию

                  (12)

 

Рис. 3. Блок-схема описания САУ в пространстве состояний

 

Описание системы управления в пространстве состояний в виде (11) удобно тем, что позволяет проводить анализ САУ на ее управляемость и наблюдаемость.

Понятие управляемость связано с важнейшим в теории автоматического управления вопросом – возможностью приведения системы из начального состояния в заданное с помощью соответствующего выбора входных или управляющих воздействий. Критерий управляемости для линейных стационарных систем выражается первой теоремой Калмана.

Теорема Калмана І.. Система будет управляемой тогда и только тогда, когда матрица управляемости Q имеет ранг, равный размерности пространства состояний n.

Матрица управляемости составляется из матриц А и В следующим образом:

,               (13)

где n – размерность пространства состояний.

Очевидно, что управляемость определяется свойствами матриц А и В. Условием оценки управляемости является невырожденность матрицы А.

Понятие наблюдаемости связано с возможностью определения координат состояния системы по результатам измерения выходных переменных в течение конечного промежутка времени. Критерий наблюдаемости для линейных стационарных систем выражается второй теоремой Калмана

Теорема Калмана II. Система будет наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости N имеет ранг, равный размерности пространства состояний n.

Матрица наблюдаемости составляется из матриц А и С по следующей схеме:

;                         (14 )

Очевидно, что наблюдаемость определяется свойствами матриц А и С. Условием оценки наблюдаемости системы является невырожденность матрицы .

Контрольные вопросы.

1. Как выглядит векторно-матричная стандартная форма Коши?

2. Что показывает матрица динамики? Чему равна ее размерность?

3. Что показывает матрица входа и ее размерность?

4. Что показывает матрица выхода? Можно ли по ней определить порядок описываемого объекта?

5. Можно ли по матрице динамики определить размерность описываемого объекта?

6. Как определить размерность объекта по описанию в пространстве состояний?

7. По какой из матриц можно определить внутреннюю структуру объекта?

8. Как по матрицам {А,В,С,D} формализовать передаточную функцию?

9. Как определяется управляемость САУ, описываемой в пространстве состояний?

10.  Как определяется наблюдаемость САУ, описываемой в пространстве состояний?