Критерий о необходимых условиях устойчивости

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были одного знака и отличались от нуля.

Задачи для практической части занятия

1. Дано уравнение

                   .

Это дифференциальное уравнение допускает частное стационарное решение

                       .

Будет ли частное (вынужденное) решение асимптотически устойчивым?

2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением:

а)  3 y ¢ + y = g

б)  4 y ¢ - y = g

в) y ¢¢ +2 y ¢ + y = g

г) y ¢¢ +2 y ¢ - y = g

3. Определить устойчивость систем по виду характеристического уравнения 7 p ³ +2 p ² -4 p +1=0.

4. Передаточная функция имеет вид W(p)=  Определить устойчивость системы в зависимости от параметра .

Задание 1. Получение навыков работы в среде Scilab, исследование устойчивости линейной системы по корневым критериям.

В таблице коэффициентов представлены коэффициенты числителя (n_i)и знаменателя (d_i) передаточной функции линейной системы.

1) Найдите нули и полюса передаточной функции (корни полинома числителя называют нулями, а корни полинома знаменателя – полюсами):

 z = roots (n)

p = roots (d)

2) Постройте графики переходной и импульсной функций

Таблица коэффициентов

Вариант		n1	n2
	0.110	1.21	0.110	3.3000	3.4760	1.3100
	0.499	1.60	0.534	2.8280	2.9492	1.2120
	0.096	1.19	0.105	2.3957	2.2486	0.9182
	0.100	1.14	0.101	2.2228	2.0466	0.9181
	0.254	-1.39	0.277	1.8506	1.5440	0.7008
	-0.238	-0.99	-0.216	1.6833	1.3647	0.7031
	-0.222	0.88	-0.200	1.3408	0.9058	0.4617
	0.206	1.50	0.224	1.1975	0.7749	0.4637
	0.436	-1.79	0.475	1.2100	0.7720	0.3592
	-0.395	-0.69	-0.360	1.3366	0.8798	0.3591
	-0.356	0.66	-0.334	1.2120	0.7480	0.2761
	0.318	1.84	0.344	1.3382	0.8363	0.2761
	0.622	-2.18	0.677	1.3089	0.7762	0.2097
	-0.574	-0.44	-0.607	1.4377	0.8485	0.2096
	-0.477	0.26	-0.432	1.3972	0.7606	0.1568
	0.505	2.47	0.550	1.5150	0.8166	0.1558
	-0.772	0.29	-0.703	1.2543	0.6200	0.1119
	-0.808	-0.25	-0.739	1.1481	0.5774	0.1119
	-0.832	0.31	-0.766	0.8080	0.3737	0.0505
	0.879	3.50	0.793	0.7070	0.3535	0.0505

 

Отчет по лабораторной работе № 3

Устойчивость движения непрерывных линейных САУ

Описание системы

Исследуется система, описываемая математической моделью в виде передаточной функции

Результаты исследований

Нули передаточной функции

...

Полюса передаточной функции

 

 

· Импульсная характеристика системы:

· Переходный процесс системы:   

 

Выводы по результатам исследований

...

 

Контрольные вопросы к защите

1. Какая система называется

а) асимптотически устойчивой

б) неустойчивой

в) гранично устойчивой

2.Как построить характеристическое уравнение?

3. Какие критерии устойчивости Вы знаете?

4. Что такое нули и полюса передаточной функции?

5. Об устойчивости САУ судят по нулям или полюсам?

 

 

Приложение. Решение квадратных и кубически уравнений

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

−b ± √b2− 4ac

2a

x_1;2=

Выражение под знаком корня называется дискриминант.

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Если коэффициенты кубического уравнения Ax³+Bx²+Cx+D=0 являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.

Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель y₁, при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является x₁=y₁/A.

Далее делим многочлен Ax³+Bx²+Cx+D на x-x₁ и находим корни полученного квадратного трехчлена.