Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

                                                                                                    (21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

       1) Если , то уравнение (21) приводится к виду

                                                       .                                                       (22)

       Решения этого уравнения: , . Условию  удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

       2) Если , уравнение (21) приводится к виду

.

       Корнями этого уравнения будут числа  и . Первый корень  не удовлетворяет условию  и поэтому не является решением данного уравнения (21).

       Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .

       Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

                                                        .                                                        (23)

       Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):

, , .

 

 

                                                       0                  3                         x

рис. 1.

 

       1) При  уравнение (23) приводится к виду

.

       В промежутке  последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при  уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке  решений не имеет.

       2) При  уравнение (23) приводится к виду

,

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение  является решением уравнения (23).

 

Трансцендентные уравнения

       Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4]).

       Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

                                                              ,                                                              (24)

где  и  - некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

       В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

       Множество решений показательного уравнения вида

                                                            ,                                                            (25)

где  - некоторый многочлен, находится следующим образом.

       Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).

       П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :

.

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень  и два иррациональных корня:  и .

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:

, , .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

 и .

Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:

       1) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

       2) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

3) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

 

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

       Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

                                                         ,                                                         (26)

где  - некоторое положительно число, отличное от единицы,  - любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение

.

Множество решений логарифмического уравнения вида , где  - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение

                                               .                                               (27)

       Относительно неизвестного  данное уравнение – квадратное:

.

       Корни этого уравнения: , .

       Решая логарифмические уравнения

, ,

получаем решения логарифмического уравнения (27): , .

       В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.

       П р и м е р 2. Решить уравнение

                                       .                                       (28)

       Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо  равную ему величину , получаем уравнение

.

       Заменой  это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :

.

Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения  и :

,

,

       П р и м е р 3. Решить уравнение

.

       Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

.

 

 

Заключение

       Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

 

 

Список использованной литературы

 

Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

 

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

 

Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.

 

 

 

[1]       ) Под допустимыми понимаются те численные значения букв, при которых выполнимы все операции, совершаемые над буквами, входящими в равенство. Например, допустимыми значениями букв, входящих в равенство

           будут следующие; для ; для , для

[2]       ) Если a и b имеют разные знаки, то .

[3]       ) Случай ,  аналогичен разобранному.

[4]       ) Под алгебраическими преобразованиями уравнения

           Понимают следующие преобразования:

1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;

           2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;

           3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.