Цифровые фильтры. Моделирование в Xcos

Цифровой фильтр – это программа обработки оцифрованного сигнала. Цифровой фильтр из входной последовательности значений { e [k]} строит на выходе новую последовательность { v [k]}:

Например, линейный фильтр второго порядка вычисляет очередное значение сигнала выхода v [ k ] по формуле

v [ k ] = a ₂· e [ k ] + a ₁· e [ k– 1] + a ₀· e [ k– 2] – b ₁· v [ k– 1] – b ₀· v [ k– 2]

Здесь a ₂, a ₁, a ₀, b ₁ и b ₀ – коэффициенты фильтра; e [ k ] – текущее (только что полученное) значение входного сигнала; e [ k– 1] и e [ k– 2] – два предыдущих значения входного сигнала полученные соответственно в моменты k –1 и k –2; v [ k– 1] и v [ k– 2] – два предыдущих значения выходного сигнала.

Вычислим реакцию такого фильтра на единичный ступенчатый входной сигнал e [ k ], который равен 0 при всех k < 0 и равен 1 при всех k ³ 0:

… = e [–2] = e [–1] = 0

e [0] = e [1] = e [2] = … = 1

Подставляя эти значения, получаем

v [0] = a ₂· e [0] = a ₂

v [1] = a ₂· e [1] + a ₁· e [0] – b ₁· v [0] = a ₂ + a ₁ – b ₁· v [0]

v [2] = a ₂ + a ₁ + a ₀ – b ₁· v [1] – b ₀· v [0]

…

Так последовательно можно найти значения v [ k ] при всех k.

Рассмотрим особый случай, когда b ₁ = b ₀ = 0, то есть уравнение фильтра не использует прошлых значений выхода:

v [ k ] = a ₂· e [ k ] + a ₁· e [ k– 1] + a ₀· e [ k– 2]

В этом случае получаем

v [0] = a ₂, v [1] = a ₂ + a ₁

v [2] = a ₂ + a ₁ + a ₀

v [3] = a ₂ + a ₁ + a ₀

…

Это значит, что, начиная с момента k = 2, все значения сигнала выхода будут равны a ₂ + a ₁ + a ₀, то есть переходный процесс заканчивается за конечное число шагов. Такие фильтры называются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтрами).

По уравнению фильтра можно определить установившееся значение выходного сигнала (если оно существует). Пусть на вход поступает единичный ступенчатый сигнал. Тогда в установившемся режиме выход не меняется, то есть должно выполняться равенство

v [ k ] = v [ k– 1] = v [ k– 2] = v _¥ = const

Поэтому, учитывая, что e [ k ] = e [ k– 1] = e [ k– 2] = 1, получаем

v _¥ = a ₂ + a ₁ + a ₀ – b ₁· v _¥ – b ₀· v _¥

Отсюда сразу следует, что

.

Вернёмся снова к уравнению фильтра:

v [ k ] = a ₂· e [ k ] + a ₁· e [ k– 1] + a ₀· e [ k– 2] – b ₁· v [ k– 1] – b ₀· v [ k– 2]

и запишем его в операторной форме, используя оператор запаздывания z ^–1, такой что

z ^–1 v [ k ] = v [ k– 1], … z ^–m v [ k ] = v [ k–m ].

Получаем

v [ k ] = a ₂· e [ k ] + a ₁· z ^–1e[ k ] + a ₀· z ^–2 e [ k ] – b ₁· z ^–1 v [ k ] – b ₀· z ^–2 v [ k ]

Перенесем все значения выходного сигнала в левую часть:

v [ k ] + b ₁· z ^–1 v [ k ] + b ₀· z ^–2 v [ k ] = a ₂· e [ k ] + a ₁· z ^–1e[ k ] + a ₀· z ^–2 e [ k ]

и вынесем общие множители в обеих частях:

 (1 + b ₁· z ^–1 + b ₀· z ^–2) v [ k ] = (a ₂ + a ₁· z ^–1 + a ₀· z ^–2) e [ k ]

Разделим обе части равенства на скобку в левой части:

.

Умножим числитель и знаменатель на z ²:

Функция

называется передаточной функцией цифрового фильтра. Для КИХ-фильтра знаменатель передаточной функции имеет вид z^N, например,

.

Заметим, что установившееся значение на выходе фильтра при единичном ступенчатом входе можно найти, подставив в передаточную функцию C (z) вместо z единицу:

.

Для моделирования цифрового фильтра в Xcos используется блок DLR (группа Системы с дискретным временем). Период квантования задается таймером, который подключен к красному входу. В свойствах блока нужно ввести числитель (Numerator) и знаменатель (Denominator) передаточной функции фильтра.

При вводе числителя и знаменателя можно использовать переменные, например, так:

При сохранении этих данных в модели Xcos программа проверяет, есть ли такие переменные. Поэтому их нужно заранее определить в рабочем пространстве Scilab (присвоив им любые подходящие значения, в данном случае – числовые).

Можно также взять числитель и знаменатель из существующей модели Scilab:

Для этого модель цифрового фильтра должна быть заранее создана в рабочей области Scilab в формате передаточной функции:

--> a0 = 1.2;

--> a1 = 2.3;

--> b0 = -0.8;

--> C = syslin("d", a0*%z^2+a1*%z+1, %z^2+b1*%z+b0)

Существует особый блок с передаточной функцией , который выполняет запаздывание на один такт. Действительно, операторное уравнение такого фильтра

zv [ k ] = e [ k ] или v [ k ] = z^{– 1} e [ k ]

 

может быть записано в виде разностного уравнения

v [ k ] = e [ k –1].

Это значит, что текущее значение выхода равно предыдущему значению входа.