Формализация экспериментальных данных методом наименьших квадратов

 

Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью у = f(C). Если конкретному значению С_и соответствует единственное значение у_и, то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке. Например, площадь квадрата ω может быть представлена функциональной зависимостью от размера стороны квадрата а: ω = а².

Если у_и остается неизменным в то время как С_и изменяется, то у не зависит от С. Например, угол при вершине квадрата равный π/2, не зависит от размера стороны а_и.

Если для оценки величин у_и и С_и используются данные наблюдений, величины случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.

Измерив отдельно сторону а и площадь ω квадрата, можно убедиться, что полученные результаты не могут быть представлены с абсолютной точностью зависимостью ω = а ².

К формализации экспериментальных данных, т.е. построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель из-за недостаточного понимания механизма процесса или его чрезмерной сложности.

Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.

Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с учетом количества принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения.

Если по результатам эксперимента, состоящего из двух опытов, получено линейное однофакторное уравнение у = b₀ + b ₁ С, то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, для того чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает данный процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает возможность осуществить корректную процедуру проверки пригодности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых (N) должно превышать число коэффициентов уравнения (N^')

Так как N > N ', решение такой системы требует специального подхода.

 

9.2 Симметричный и равномерный план однофакторного эксперимента

 

Задача в значительной степени упростится, если при планировании эксперимента, можно будет обеспечить условие:

ΣC_u=0 (1)

При натуральной размерности факторов выполнить условие ΣC_u=0 невозможно, т. к. в этом случае величина фактора должна иметь как положительные значения, так и отрицательные.

Если же точку отсчета величины фактора перенести в середину диапазона изменения фактора (центр эксперимента)

 

 

то появляется возможность удовлетворить условию в виде , где С^'_u=С_u – С_0.

Для равномерного плана С_u – С_(u-1) = λ = const,

где λ – интервал варьирования фактора.

Условие может быть выполнено, если для обозначения величины фактора использовать безразмерные выражения:

 

x_u = ,

 

отсюда легко увидеть, что условие эквивалентно условию и такие планы называют симметричными.

При составлении плана диапазон фактора ориентировочно ограничивают величинами С_min и С_max, назначенными после изучения литературы по теме исследования. От опыта к опыту предусматривают такое изменение величины фактора, которое позволило бы достоверно уловить имеющимися в распоряжении исследователя приборами изменение выхода процесса .

С учетом величины λ и диапазона (С_max – C_min) определяют число опытов, округляя его до нечетного N:

.

 

Затем определяют величины факторов в каждом из N опытов и уточняют исследуемый диапазон фактора С_N – С₁:

 

= ,

 

где х_u – безразмерное выражение фактора, аналогичное полученному по соотношению

Для расчета коэффициентов уравнения используем формулу:

 

,

 

множители а_ju и знаменатель l_j берем из приложения.

Число опытов эксперимента может быть четным или нечетным, и, как правило, должно быть больше числа коэффициентов N' уравнения.

Чем больше разность (N – N'), тем с большей точностью можно получить оценки коэффициентов данного уравнения и тем в большей степени эти оценки будут освобождены от влияния случайных неуточненных факторов.