Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

 

 

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

 

 

Гомель 2006

Содержание

 

Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников

 

Введение

 

Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А,  и для любых групп  и  имеет место  и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда:

( 1) если  - подгруппа группы  и , то  - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  - подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S  на множество S ;

(4) если   S , то  - нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

( 1) единичный элемент  группы  переходит в единичный элемент  группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.  для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

(5) тогда и только тогда  где  когда .

Лемма 1.3 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

( 1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если подмножества  и  сопряжены в , то  и  сопряжены в .

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если  - гомоморфизм, то .

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы  пересечение  является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение

является изоморфизмом групп  и .

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если  и  - нормальные подгруппы группы , причем , то  изоморфна .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в .

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и

 

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

 

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А,  и для любых групп  и  имеет место  и

Подгрупповой -функтор  называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп  и  имеет место ;

2) тривиальным, если для любой группы  имеет место

;

3) единичным, если для любой группы  система  состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .

Если  и  - подгрупповой -функтор, то  - такой подгрупповой -функтор, что  для всех . Такой функтор называется ограничением функтора  на классе .

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда  - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы ,

Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .

Пример 2. Пусть  - совокупность всех нормальных подгрупп группы  для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть  - произвольное натуральное число. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 4. Пусть  - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Если  - подгруппа группы , то символом  обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть  - простое число и пусть для любой группы  система   в  нет такой подгруппы , что ,  - натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что  - подгрупповой функтор.

Действительно, пусть  и . Предположим, что

где  - натуральное число. Тогда  - натуральное число и

Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если

то . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если  - некоторый класс конечных групп и , то  - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы  множество  совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что  - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной в , если всегда из  следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы  множество  совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что  - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть  - произвольный класс групп. Подгруппа  группы  называется  - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и для любых двух подгрупп  и  из , где  и  - максимальная подгруппа в  имеет место .

Легко видеть, если группа  разрешима, то ее подгруппа  абнормальна в  тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

Сопоставляя каждой группе  множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .

Пример 9. Подгруппа  группы  называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2)  и в  имеется такая цепь подгрупп  где  - максимальная в  подгруппа, содержащая , .

Пусть  - некоторая непустая формация и для каждой группы  система  состоит из всех -субнормальных в  подгрупп.

Покажем, что  - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть  и  - такие члены цепи (1), что , где  - нормальная в  подгруппа.

Покажем, что  - максимальная подгруппа в . Допустим, что  для некоторой подгруппы . Тогда поскольку  максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд  таков, что в нём для любого  имеет место одно из двух условий:

1) ;

2)  - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку  то

Итак,  - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если  - -субнормальная подгруппа в , то  - -субнормальная подгруппа в . Таким образом,  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп  называется формацией, если каждая конечная группа  обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку  - гомоморф, то

Откуда получаем . Из  и  следует равенство .

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть  - некоторый класс конечных групп и  - формация. Пусть для любой группы

Покажем, что  - подгрупповой  - функтор.

Действительно, пусть  и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем

Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно,  - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Пример 11. Для каждой группы  через  обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что  - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

 

Заключение

 

Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

 

 

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

 

 

Гомель 2006

Содержание

 

Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников

 

Введение

 

Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А,  и для любых групп  и  имеет место  и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.