Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

А_k = E(|f|>k), Q = E(|f| = + ¥).

По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений

А₁ É А₂ É А₃ É …,        

будет (теорема 12) при k®¥

mA_k®mQ = 0.

Значит, найдется такое k_0, что mA_k0<e.

Определим на множестве E функцию g(x), полагая

Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку g (x)ê k₀. Наконец, E(f ¹ g) = A_ko, что и доказывает теорему.

Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть функция F(x) задана на множестве E и x₀ÎE, причем F(x₀) ¹±¥. Говорят, что функция F(x) непрерывна в точке х₀ в двух случаях: 1) если х₀ есть изолированная точка E; 2) если х₀Î E¢ и соотношения x_n®x₀, x_nÎE влекут соотношение

f(x_n) ®f(x₀).

Если f(x) непрерывна в каждой точке множества E, то говорят, что она непрерывна на этом множестве.

Лемма 1. Пусть множества F ₁, F ₂, …, F_n замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция j (х), заданная на множестве

постоянна на каждом из множеств F_{k ,} то она непрерывна на множестве F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x₀ÎF’ и x_i®x₀, x_iÎF.

В силу замкнутости множества F точка x₀ принадлежит этому множеству и, стало быть, найдется такое m, что x₀ÎF_m.

Но множества F_k попарно не пересекаются. Значит, если k¹m, то х₀ F_k и, в силу замкнутости множества F_k, точка x₀ не является и предельной точкой этого множества.

Отсюда следует, что в последовательности {x_i} может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству F_k при k¹m. Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F₁, …, F_m-1, F_m+1, …, F_n, и пусть x_i0, последний из них. Тогда при i > i₀ необходимо будет x₁ÎF_m, т.е. при i > i₀ оказывается j (x_i) = j (x₀), а это доказывает лемму.

Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [ a, b ]. Если функция j (x) задана и непрерывна на множестве F, то можно определить на [ a, b ] функцию y (x) со следующими свойствами

1) y (x) непрерывна;

2) если x Î F, то y (x)= j (x);

3) max | y (x)| = max | j (x)|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через [a, b] наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция y(x) была уже построена на сегменте [a, b], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая 

чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F ¹ [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).

Зададим функцию y(x), полагая ее равной j(x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.

Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.

Пусть х₀ есть точка множества F. Мы покажем, что функция y(x) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).

Если точка х₀ служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции y(x) в этой точке слева очевидна.

Пусть же x₀ не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x₁< x₂< x₃<… последовательность точек, стремящихся к x₀.

Если x_nÎF (n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции j(x), имеем y(x_n) = j(x_n) ® j(x₀) =y(x₀). Поэтому можно считать, что х_n F (n = 1, 2, 3, …).

В таком случае точка x₁ попадает в какой-то дополнительный интервал (l₁, m₁), причем m₁<х₀. Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (l₁, m₁), (l₂, m₂), (l₃, m₃), … дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что

X_kÎ(l₁, m₁) (k = n_i-1+1, …, n_i).

Соотношение x_ni<m_i<x₀ показывает, что m_i, а из того, что m_i-1£l_i< x₀, ясно, что и l_i  ®x₀.

Но l_i и m_i входят в F, так что

lim  y(l_i) = lim y(m_i) = y(x₀).

Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и limy(x_n)=y(x₀).

Итак, непрерывность функции y(x) доказана.

Из самого ее построения видно, что она совпадает с j(x) на множестве F.

Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |y(x)| есть наибольшее – max |y(x)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных интервалах функция y(x) линейна. Поэтому max |y(x)| = max |j(x)|.

Лемма доказана полностью.

Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [ a, b] задана измеримая и почти везде конечная функция f(x). Каковы бы ни были числа s >0 и e >0 существует непрерывная на [ a, b] функция y(x), для которой

mE(| f- y| ³ s) < e

Если при этом | f(x)| £ K, то можно и y(x) выбрать так, что | y(x)| £ K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что |f(x)| £ K, т.е. что функция f(x) ограничена.

Фиксируя произвольные s >0 и e >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m<s, и построим множества

          (i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)

Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и

Построим для каждого i замкнутое множество F_i Ì E_i с мерой и положим .

Ясно, что , откуда m[a, b] – mF<e.

Зададим теперь на множестве F функцию j(x), полагая

при  xÎF_i (i = 1 – m, …, m).

В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F, |j(x)| £ K и, наконец, при xÎF будет |f(x) - j(x)| < s.

Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной функции y(x), совпадающей на множестве F с функцией j(x), причем |j(x)|³K. Поскольку E (| f - y | ³ s) Ì [a, b] – F, ясно, что функция y(x) требуемая.

Итак, для ограниченной функции теорема доказана.

Допустим теперь, что f (x) не ограничена. Тогда, пользуясь теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g(x), что mE (f ¹ g) < e/2.

Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g(x), мы найдем такую непрерывную функцию y(x), что

Но легко видеть, что

E (|f-y| ³ s) Ì E (f ¹ g) + E (|g-y| ³ s),

Так что функция y(x) решает задачу.

Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f (x), заданной на сегменте [ a, b ], существует последовательность непрерывных функций y _n (x), сходящаяся по мере к функции f (x).