если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Доказательство:  Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:

Тогда по любому заданному  найдется такой номер N, что для n > N будет

 

 

или

 

.

 

Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби

 

 

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания у_п вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

 

 

числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N

 

запишем тождество

 

 

откуда

 

.

 

Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .

Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n > N^’. Если при этом взять N^’ > N, то для n > N^’ очевидно

 

,

 

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,

 

Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)

 

 

следовательно, вместе с у_n и , причем варианта х_п возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :

 

 

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

 

,

 

что и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы

1.  Вычислить

Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):

если п – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то

 

 (*)

Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будем иметь:

 

 

так как ненаписанные члены положительны, то

 

,

 

что равносильно неравенству (*).

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

 

.

 

Так как для n > 2, очевидно, , то окончательно,

 

 

При k = 1, получаем сразу

 

так что

Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

 

так что

 (а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

 

 

2.  Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта а_п имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

 

 

(«среднее арифметическое» первых п значений варианты а_п).

Действительно, полагая по теореме Штольца

 

 

имеем:

Например, если мы знаем, что , то и

 

 

3.  Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)

 

,

 

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

 

 

будем иметь

 

 

НО                          

так что                    

 

используя следующее утверждение

 

,

 

Второй множитель здесь имеет конечный предел . Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентов при старших степенях многочленов.

Если k < l, то рассматриваемое отношение стремится к

Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к

в итоге мы получаем

 

Заключение

В данной работе мы рассмотрели теорему Штольца и её применение на практике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений , помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.

 

 

Список литературы

 

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.

3. Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.