И анизотропия скорости света

Рассмотрим три события, взаимосвязанные световым сигналом и происходящие в пространственных точках A и B элемента твердого тела с физической длиной, равной пространственному расстоянию . Показания часов в точках A и B есть физические времена  и . Пусть из точки A через интервал времени  отправляется сигнал, который через интервал времени  прибудет в точку B. Далее сигнал, отраженный от точки B, через интервал времени  прибудет в точку A. События происходят в локальной системе отсчета пространственно-временного континуума. Согласно А. Пуанкаре [1] для стандартной синхронизации часов необходимо определить отношение метрической одновременности события в точке A с событием в точке B, происходящим в середине временного интервала . Таким образом, имеем соотношение

,                      (1.1)

которое дает равенство физических скоростей света  вдоль твердого тела. При этом выполняется постулат о равенстве масштабов расстояния, измеряющих длину твердого тела в прямом и обратном направлениях, и используется опытный факт постоянства "средней" скорости света вдоль замкнутого пути, то есть имеем соотношения

, .      (1.2)

Однонаправленные скорости света имеют изотропное и инвариантное значение. Согласно Г. Рейхенбаху и А. Грюнбауму [14, 15] события, происходящие во временном интервале  есть топологически одновременные события к событию в точке B. Отношение метрической одновременности определяется конвенционально выбором произвольного события из топологически одновременных событий.

Сигнальный метод синхронизации часов, предложенный впервые А. Пуанкаре, дает наблюдаемые интервалы времени в точке A 

, .              (1.3)

Различаем несколько случаев. В первом случае интервал собственного времени в точке B определяется выражением

              (1.4)

где опущены используемые индексы. Запишем квадратичную дифференциальную форму

,             (1.5)

которая представляет собой элемент длины в, так называемой, локальной майкельсоновой системе отсчета пространственно-временного континуума. Форма задана в координатной сетке  с . Для риманового многообразия с квадратичной формой

                           (1.6)

и сигнатурой  имеем

,                  (1.7)

,           (1.8)

где  и значения индексов , . В полугеодезических координатах имеем , . Для определителя справедливо неравенство .

Для пространства-времени Минковского в галилеевых координатах получим

, .                  (1.9)

Здесь интервал физического времени совпадает с интервалом координатного времени и физическая длина есть длина локального радиуса-вектора  с координатами . Физические скорости произвольных сигналов равняются координатным. В случае с (1.7) и (1.8) эти равенства не выполняются.

    Во втором случае рассмотрим риманово многообразие с квадратичной формой (1.6), имеющей сигнатуру . Тогда имеем соотношения

   (1.10)

,                 (1.11)

          (1.12)

и для определителя справедливо неравенство .

    В третьем вырожденном случае положим  и получим

. (1.13)

Риманово многообразие с определителем  имеет сигнатуру с некоторыми нулевыми значениями.

    Требует отдельного рассмотрения ещё один невырожденный случай риманова многообразия с сигнатурой .

Наиболее общая связь между временными интервалами запишется так

,                    (1.14)

где ,  и  есть постоянные элементы антисимметричной временной матрицы перехода между событиями. При стремлении точки  к точке  интервалы времен  и  приближаются к , поэтому в пределе получим соотношение

.    (1.15)

Поскольку  есть произвольная величина, то вытекает условие

,               (1.16)

накладываемое на коэффициенты и, следовательно, имеем два независимых параметра.

Из соотношений (1.14) и (1.16) находим следующее равенство

,          (1.17)

из которого получим значения анизотропных физических и "средней" скорости света

, , ,      (1.18)

, , ,                   (1.19)

где  есть скалярный параметр временной анизотропии и - скалярный параметр характеризующий "показатель преломления" для света. Для "средних" скоростей вдоль замкнутого пути должен выполняться следующий предел . Однонаправленные скорости света неизотропные и неинвариантные значения. Случай с  соответствует абсолютной одновременности классической физики, в которой сигнальный метод Пуанкаре отсутствует.

    Наблюдаемые временные интервалы в точке  равняются

, .     (1.20)

    Значение  определяет скорость света отправленного из точки  в точку , а  - скорость света, отправленного из точки  в точку  твердого тела. Это означает, что в точке  не определяется скорость света, отправленного из точки  в противоположное от точки  напр авление. Аналогично, в точке  не определяется скорость света, отправленного из точки  в противоположное от точки  направление.

При  и  из рассматриваемой общей синхронизации часов получим стандартную синхронизацию по Пуанкаре. Преобразования координатной сетки не устраняют физическую анизотропию скорости света. Координатная анизотропия скорости  в римановом многообразии с (1.6) для изотропных геодезических устраняется преобразованиями координатной сетки, если  есть полный дифференциал. В отличие от работ [16, 17], где приводятся впервые соотношение вида (1.14) для моментов времени, здесь имеем соотношение (1.14) для временных интервалов.

 

Типы финслеровых геометрий

Рассмотрим преобразования временного интервала и пространственного расстояния при переходах между движущимися локальными системами  и . В системе  имеем скорости светового сигнала 

, , ,                       (2.1)

, , .      (2.2)

    Для наглядности примем, что элемент твердого тела расположен вдоль положительного направления . Он начинает движение от начала координатной сетки системы . Физическая длина элемента твердого тела, расположенного вдоль положительного направления , равняется  и является, согласно (1.8), абсолютной величиной. Направление  совпадает с направлением .

Рассмотрим первый случай. Воспользуемся методом коэффициента  для света идущего от  к  и от  к  и запишем соотношения

,      (2.3)

.      (2.4)

В других случаях расположения элемента твердого тела в системах  и  имеют место соотношения, отличные от (2.3) и (2.4) с другими значениями скорости света. Коэффициенты  и  описывают эффект Допплера в прямом и обратном направлениях. Согласно (2.3) и (2.4) получим равенства

  (2.5)

.                      (2.6)

При  и  имеем, соответственно,  и , где  и  есть относительные скорости систем. Из (2.6) вытекает выражение

,                               (2.7)

из которого находим взаимосвязь между скоростями

.                              (2.8)

При  и , а также с учетом (2.7), равенство (2.6) для одинаково направленных скоростей преобразуется следующим образом

.                          (2.9)

Из него, в частности, при , вытекает закон композиции безразмерных одинаково направленных анизотропных скоростей

,           (2.10)

множество которых образует абелевую группу.

    Определители прямых и обратных преобразований, вытекаемых из соотношений (2.3) и (2.4), равняются  и . Учитывая (2.7), получим значения

, ,                            (2.11)

где , как и , обладает групповым свойством

.                                (2.12)

    Используя закон композиции в виде (2.9) и равенство (2.12), получим уравнение

,                    (2.13)

имеющее одинаковый вид и для скоростей , . Инвариантный параметр  может зависеть от инвариантных значений  и . Интегрируя (2.13) при условии , получим выражение , преобразования и квадрат форм-инвариантной метрической функции в следующих типах локальных финслеровых геометрий.

    Тип I .

,                        (2.14)

, ,    (2.15)

, (2.16)

(2.17)

    Тип II .

,                      (2.18)

, ,           (2.19)

, (2.20)

,           (2.21)

Значение  и преобразования в типе II вытекают из формул (2.13), (2.15)-(2.17) в типе I формально при .

    Тип III .

,                    (2.22)

, ,  (2.23)

,  (2.24)

.   (2.25)

    Тип IV .

,                        (2.26)

, ,     (2.27)

.                (2.28)

Формулы для типа III получены на основании результатов работы [18]. Формулы для типа IV получены из соотношений (2.18)-(2.21) в типе II при . При  и  первые три типа соответствуют для определенных значений  и  трём типам локальных финслеровых геометрий с индикатрисой постоянной кривизны, рассмотренных в работе [19].

    Рассмотрим случай с  и запишем интервал собственного времени в типе I так

.     (2.29)

Равенство  соответствует геометрии Галилея и имеет место при , если выполняются соотношения

, .          (2.30)

Из (2.30) получим инвариантное значение параметра

                                 (2.31)

и, следовательно, интервал собственного времени примет вид

 (2.32)

    Квадрат финслеровой метрической функции запишется так

.(2.33)

    В работах [13], [19] и [20] рассматривается анизотропия физической скорости света (, , ) для квадрата финслеровой метрической функции (2.33) без коэффициента . Там же приводятся соответствующие нелинейные и линейные преобразования для случая двумерного и четырехмерного финслерового пространства-времени с одним скалярным параметром. Случай анизотропии координатной скорости света с  исследуется в [21].

Для случая  в типе I имеем

.(2.34)

В случае  и  получим

.           (2.35)

Обобщением выражения (2.35) с учетом (1.6)-(1.8) для четырехмерного пространства-времени является

. (2.36)

В отличие от работы [22] в (2.36) отсутствует четырехмерный вектор  с , указывающей локально выделенные направления. Обобщение результатов работы [22] на случай анизотропии координатной скорости света дается в [32]. Следует отметить, что добавление к рассмотренным преобразованиям ещё двух  и  не приводят к замене  в приведенных метрических функциях.

    В галилеевых координатах имеем квадрат финслеровой метрической функции

,     (2.37)

требующей отдельного рассмотрения.