Система линейных алгебраических уравнений (определение, общая и матричная форма записи).

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений выглядит следующим образом:

Рисунок 1 - Общий вид системы линейных алгебраических уравнений.

 

Здесь m — количество уравнений, а n — количество переменных,  — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты  и свободные члены  предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений () формируются по следующему соглашению: первый индекс () обозначает номер уравнения, второй () — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент.

Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Рисунок 2 - Система линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

Или:

Здесь A — это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b — столбец свободных членов. Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

 

2.3 Линейное неравенство, дву- и n- мерные линейные неравенства (описание и примеры), система линейных неравенств.

Линейное неравенство — это неравенство, вовлекающее линейные функции. Линейное неравенство содержит одно из символов неравенства:

1) < — меньше

2) > — больше

3) ≤ — меньше либо равно

4) ≥ — больше либо равно

5) ≠ — не равно

а также (формально)

6) = — равно

Линейное неравенство выглядит точно также, как линейное уравнение, но вместо знака равно ставится знак неравенства.

 

Двумерные линейные неравенства — это выражения вида:

  и

где неравенства могут быть строгими или не строгими. Множество решений такого неравенства можно графически представить как полуплоскость (все точки с «одной стороны» от фиксированной прямой) евклидовой плоскости. Прямая, определяющая полуплоскость (ax + by = c) не включается в решение, если неравенство строгое. Простая процедура определения, какая из полуплоскостей является решением — вычисление значения функции ax + by в точке (x0, y0), не находящейся на прямой, и проверке, удовлетворяет ли эта точка неравенству.

В пространстве  линейные неравенства — это выражения, которые можно записать в виде

 или

где f — линейная форма, , а b — постоянная вещественная величина.

Более конкретно, это можно записать как

или

Здесь  называются неизвестными, а  называются коэффициентами.

 

Система линейных неравенств — это набор неравенств с одними и теми же переменными:

Рисунок 3 – Система линейных неравенств.

Здесь  — переменные,  — коэффициенты системы, а  — константные члены.