Средняя квадратическая погрешность одного измерения, определяемая по разности двойных равноточных измерений

При производстве геодезических работ возможны такие случаи, когда каждая из величин измеряемого ряда измеряется дважды (измерения равноточны).

Например, при производстве геометрического нивелирования из середины превышение определяется дважды: по черной и красной сторонам рейки. СКП одного измерения в таком случае можно определить по разностям, полученным для каждой пары этих измерений.

Пусть имеем двойные равноточные измерения х _i ′ и х _i " (i = 1, 2, 3,… п). Находим разности d_i = х _i ′ - х _i ".

Величины d_i – это измеренные значения разности, но измерены косвенно. Истинное значение этой разности должно быть равно 0 в случае безошибочного измерения. Следовательно, Δ d_i – это отклонения разности от истинного значения, т. е. погрешность разности Δ d_i = d_i = 0.

С учетом отмеченного, СКП одной разности можно определить по формуле

То

С другой стороны ранее выведенную формулу определения СКП разности двух непосредственно измеренных величин х и у,которая равна сумме квадратов погрешностей этих величин, т. е. m_z ² = m_x ² + m_y ²,можно применить в данном случае. Так как измерения х _i ′, х _i " по условию равноточны, то они имеют одну и ту же среднюю погрешность т. Отсюда получим

где т – погрешность одного измерения, которая определяется как

Эта формула позволяет вычислить СКП одного измерения по разностям двойных измерений, если в разностях d нет систематических погрешностей. Если в разностях есть систематическая погрешность , ее можно определить и исключить из разностей. В том случае, когда в разностях не было случайных погрешностей, а была бы только систематическая, все разности были бы равны . Поэтому можно рассматривать полученные разности как результаты равноточных измерений одной и той же величины . Величину  необходимо учитывать, если соблюдается неравенство |[  ]| ≥ 0,25 . Надежное значение  получается как среднее арифметическое по модулю

Исключим значение  из разностей d по формуле

∂ _i = d_i – ,

где ∂ _i – уклонения разностей от арифметической середины, т. е. имеют тот же смысл, что и вероятнейшие поправки .

Основываясь на этом утверждении, мы можем применить формулу Бесселя

но так как  тогда после подстановки получим

Так как  вычисляют как среднее арифметическое, а (∂ _i) получают как вероятнейшую поправку, то для них сохраняются те же контрольные равенства, т. е. [∂ _i ] = 0 и [∂ _i ² ] = .

Пример. При нивелировании 5 пикетов трассы линейного сооружения на каждой станции нивелирования получены следующие результаты определения превышений по двум сторонам рейки:

№ Станции	Превышение по черной стороне х i′	Превышение по красной стороне х i"	Разность di	di2	∂ i	∂ i 2
1	1236	1234	+2	4	-1,2	1,44
2	0413	0411	+2	4	-1,2	1,44
3	0887	0884	+3	9	-0,2	0,04
4	1345	1340	+5	25	+1,8	3,24
5	1156	1152	+4	16	+0,8	0,64

                                                                               [16]       [66]   [0]    [6,8]

 

Определяем разность по формуле d_i = х _i′ - х _i".

Определяем СКП разности двух непосредственно измеренных величин по формуле

т = ±  = = ±2,6 мм.

Проверим наличие систематической погрешности  по формуле:

|[  ]| ≥ 0,25  16 > 0,25 · 16 – систематическая погрешность есть. Надежное значение  получается как среднее арифметическое по модулю

 =  =  = 3,2 мм.

Исключим значение  из разностей d по формуле ∂ _i = d_i – .

СКП одной разности определяем по формуле

т = ±  = ±  = ±0,9 мм.

Неравноточные измерения

Что следует понимать под неравноточными измерениями? Неравноточными следует считать измерения, точность которых оказывается неодинаковой вследствие различных условий и методики работ.

Пример 1. Три бригады землеустроителей прокладывают на местности теодолитные хода с одной узловой точкой, хода разомкнутые, опирающиеся на точки государственной геодезической сети.

Первая бригада измеряет горизонтальные углы теодолитом 2Т30П четырьмя приемами.

Вторая бригада измеряет горизонтальные углы по своему ходу теодолитом Т-5КП тремя приемами.

Третья бригада – теодолитом 3Т 2КП двумя приемами.

Условия измерений разные, как по применяемым маркам теодолитов, так и по количеству приемов, следовательно, измерения неравноточные и характеризуются различными СКП. Поэтому при неравноточных измерениях для оценки их точности используют характеристику, называемую весом измерения.

Вес измерения – это величина обратно пропорциональная квадрату СКП.

где p_i – вес i - го измерения;

m_i – СКП i - го результата измерений;

Пусть даны три ряда измеренных величин х ₁, х ₂, х ₃, а m ₁, m ₂, m ₃ – СКП этих рядов. Тогда весом рядов измеренных величин х ₁, х ₂, х ₃ мы называем соответственно числа р ₁, р ₂, р ₃, удовлетворяющие равенствам

к – произвольное число или коэффициент пропорциональности, постоянный для всех измерений ряда (k > 0).

Если в указанном ряду один из весов задан, можно определить все остальные веса, так как определяется произвольное постоянное k; в противном случае это число выбирается произвольно.

Пример 2. Найти веса р ₁, р ₂, р ₃ рядов измерений х ₁, х ₂, х ₃, если СКП в рядах соответственно равны 4, 2 и 8.

На основании формулы получаем

Если принять k = 64, чтобы избавиться от дробных чисел, получим

р ₁ = 4, р ₂ = 16, р ₃ = 1,

любые числа, пропорциональные написанным могут быть приняты за веса этих измерений, например

р ₁ = 8, р ₂ = 32, р ₃ = 2;

Свойства весов.

Исходя из определения веса, можно сформулировать первое свойство:

Отношение весов не изменится, если все веса увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (  – произвольное число). Пусть двум результатам неравноточных измерений соответствуют веса

 (выше разобранный пример)

Второе свойство. Разделив первое равенство на второе, получим

т. е. веса двух измерений обратно пропорциональны квадратам СКП этих измерений.

Из определения веса следует, что равноточные измерения имеют равные веса, неравноточные измерения имеют разные веса.