Векторное и смешанное произведение векторов

Определение. Векторным произведением двух векторов  и  называется новый вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1. Длина вектора  числена равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , т.е  где - угол между векторами  и .

2. Вектор  перпендикулярен векторам  и , т.е ,

3. Кратчайший поворот от вектора   к вектору  вокруг вектора  совершается против часовой стрелки.

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

Если два вектора  и  коллинеарны, то векторное произведение равно 0.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителей.

Векторное произведение ортов: векторное произведение одноименных ортов равно 0, т.е. , т.к. одноименные орты коллинеарны.

Если написать последовательность единичных векторов i, j, k, i, j, то векторное произведение двух любых смежных ортов дает следующий единичный орт со знаком плюс; если же порядок сомножителей изменен, т.е. последовательность рассматривается справа налево, то третий единичный вектор берется со знаком минус. , и .

Векторное произведение между координатами: пусть даны два вектора  и . Тогда векторное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:

правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:

Эта формула является удобной записьювекторного произведения в координатах.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения:

в частности, площадьтреугольника

Одним из физических приложений векторного произведения является нахождениемомента силы, возникающего при вращении твердого тела, закрепленного в некоторой точке А, под действием силы  , приложенной в точке В:

Пример.

1. Даны векторы  и . Найти координаты векторного произведения.

Решение:

2. Найти площадь треугольника АВС, где А (-2, 1, 0); В (3,4, 8); С (-1,3,6).

Решение

Площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна

Найдем координаты векторов:

=(-1+2; 3-1; б-0)=(1,2,6)   =(3-(-2); 4-1; 8-0)=(5, 3, 8)

их векторное произведение равно:

Итак,  или

Определение. Смешанным произведениемтрех векторов называется их векторно-скалярное произведение, обозначают:

Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

.

В частности, объем пирамиды, построенной на векторах  равен

Смешанное произведение векторов , ,  равно 0, тогда и только тогда когда эти векторы компланарны.

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный.

.

Смешанное произведение между координатами: е сли векторы , ,  заданы своими координатами  , , , то смешанное произведение векторов , ,  определяется по формуле:

 

Пример. Найти объем пирамиды ABCD, где А(2, 0, 1); В(3, -1, 4); C (0,-5,1); D (0,0,4).

Решение:

Объем пирамиды равен:   .

Найдем координаты векторов:

тогда смешанное произведение:

Следовательно, объем пирамиды:

.

 

Примеры решения типовых задач

№ 1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1) записать векторы  в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами ;

3) найти площадь грани ABC;

4) найти объем пирамиды ABCD.

Решение:

1. Найдем координаты векторов :

; ;

,

Тогда по формуле  (3.2) разложение векторов примет вид:

;        ;            ,

По формуле (2.1.) вычислим модули векторов :

;      ;

.

2. Для нахождения косинуса угла между векторами воспользуемся формулой (3.4.), для этого найдем скалярное произведение векторов  по формуле (3.3.)

3.Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Т.к. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителей, найдем векторное произведение:

Найдем модуль векторного произведения:

4. Объем параллелепипеда построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение .

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб.ед., а объем заданной пирамиды А BCD   равен: