Расчет контактных напряжений с использованием теории

Течения тонкого слоя по жестким поверхностям

Методика расчета

 

Ряд технологических процессов ОМД (листовая штамповка, объемная штамповка тонких (низких) поковок, прокатка тонкого листа и т.п.) можно рассматривать как задачи о пластическом течении тонкого слоя металла заключенного между жесткими поверхностями инструмента. Рассмотрим течение деформируемого металла в виде тонкого слоя между двумя жесткими плоскими бойками [1, 6, 12]. Форма слоя в плане – круг диаметром d (рис. 7.3). Толщина металла h (высота заготовки в виде диска) значительно меньше диаметра d.

  в)

Рис. 7.3. Схема деформации диска между плоскими бойками:

а – вид сбоку, б – вид сверху; в – цилиндрическая система координат

 

Осадка диска на плоских бойках относится к осесимметричной деформации, так как заготовка является телом вращения и внешняя нагрузка приложена симметрично относительно оси z. Деформацию будем рассматривать в цилиндрической системе координат . Выделим в заготовке малый элемент (рис. 7.3, б) и покажем действующие на его грани напряжения. Из условия равновесия элемента запишем сумму проекций сил на ось  и приравняем ее нулю:

,

где - напряжения контактного трения,  - нормальные напряжения.

Учтем, что ввиду малости угла  можно принять . Используем еще одно допущение, часто применяемое при анализе осесимметричной деформации: . Следовательно, . В последнем выражении раскроем скобки, приведем подобные члены и пренебрежем произведениями малых величин (например, ). В итоге получим обыкновенное дифференциальное уравнение

.                                   (7.7)

Условие пластичности в случае деформации осесимметричного слоя [12]

,                                         (7.8)

где - сопротивление металла деформации.

Дифференцируя (7.8) по  и принимая, что  одинаково в разных зонах заготовки, т.е. не зависит от , получим                      и,следовательно

.                                      (7.9)

Выражение (7.9) называется упрощенным дифференциальным уравнением равновесия.

Для определения напряжений контактного трения  в ОМД используют различные законы трения:

1) закон трения Амантона-Кулона [1]

,                                      (7.10)

2) закон трения А.Н. Леванова [1]

,                           (7.11)

где - коэффициент трения; - коэффициенты, рассчитываемые по экспериментальным данным;  - предел текучести металла при чистом сдвиге.

И.М. Володиным и П.И. Золотухиным [10] закон трения предложен в следующем виде

.                                      (7.12)

Выражение (7.11) можно использовать при , выражение (7.12) – только при . Но формулу (7.12) в отличие от (7.11) можно линеаризовать,  что позволяет использовать метод наименьших квадратов и методики классической математической статистики при расчете коэффициентов  по опытным данным.

В результате обработки экспериментальных данных, полученных при пластической деформации образцов из алюминия марки АД0, закон трения (7.12) приобрел следующий конкретный вид [10]

.                            (7.13)

Данные были получены при осадке образцов без смазки по методу разрезной обоймы [10]. Формулу (7.13) можно применять при .

При подстановке закона трения (7.10) в выражение (7.9) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

.                                (7.14)

При интегрировании этого уравнения следует использовать граничные условия (при )

.                                       (7.15)

Интегрирование позволяет получить формулу распределения нормальных напряжений на контакте с бойком [1]

.                               (7.16)

В теории ОМД метод определения нормальных напряжений на контакте с инструментом, в основу которого положена теория течения тонкого слоя по

жестким поверхностям, называется инженерным методом.

При подстановке закона трения (7.13) в выражение (7.9) получаем

следующее дифференциальное уравнение

.                  (7.17)

Уравнение (7.17) будем решать численно методом Рунге-Кутта с использованием граничных условий (7.15). В вычислениях координата  изменяется от  до  с некоторым малым, но конечным шагом .

В результате численного решения получим таблично заданную функцию , т.е. таблицу вида табл. 7.2.

Таблица 7.2

Результаты численного расчета контактных нормальных напряжений

			…		…
			…		…

 

В табл. 7.2  - номера узловых точек, расстояние между которыми равно шагу .

Сила (усилие) пластического деформирования заготовки

,                                        (7.18)

где S – площадь контактной поверхности. Геометрически представляет собой площадь малого элемента (см. рис. 7.3, б). В цилиндрической системе координат . При условии, что координата получаем

.                                  (7.19)

При численном решении задачи  является таблично заданной функцией , поэтому интеграл (7.19) будем вычислять по формуле трапеций (6.12).

Среднее на контактной поверхности давление

.                              (7.20)