Следствия из теоремы о площади треугольника.

Площади многоугольников.

* Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую она занимает.

* Найти площадь – это, значит, определить, сколько квадратных единиц содержится в данном многоугольнике (измерение площади – это сравнение площади данного многоугольника с единицей измерения).

Свойства площади.

1) За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной единица (1мм², 1см², 1дм², 1м², 1а, 1га, 1км²).

2) Площадь выражается положительным числом.

Основные свойства площади.

3) Равные многоугольники имеют равные площади.

4) Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

5) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата.

Теорема.

Площадь квадрата со стороной а равна а².

Дано: ABCD – квадрат.

Доказать:

Доказательство:  

 В квадрате со стороной 1 содержится п² равных квадратов.  -   площадь одного квадратика. Тогда площадь всего квадрата равна:

Площадь прямоугольника.

Теорема.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Дано: ABCD – прямоугольник со сторонами а, b  и площадью S.

Доказать: S = ab.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b  и площадью S.

Д.П.: Достроим прямоугольник до квадрата со стороной (а + b). Тогда по свойству 3

С другой стороны

Приравняем правые части.

=

.

S = ab.

Что и требовалось доказать.

 

Площадь параллелограмма.

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма.

      

Теорема.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано: ABCD – параллелограмм. S – площадь параллелограмма.

Доказать: S = AD · BH.

Доказательство: AD – основание, BH – высота, СК – высота.

I) Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и  С другой стороны, она составлена из прямоугольника ВНКС  и

II) Рассмотрим   и  (они прямоугольные).

1) (соответственные при параллельных прямых АВ и CD и секущей АК).

2) АВ  = С D  (по свойству параллелограмма).

Из условий 1), 2) получаем, что  =  по гипотенузе и острому углу. Значит,  (по свойству площади).

III) Из I и II  получаем, что

IV)     Тогда                                        Что и требовалось доказать.

Площадь треугольника.

Теорема.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Дано: , АС – основание, ВН – высота, АС = а, ВН = h.

Доказать:

Доказательство:  

I) Достроим  до параллелограмма ABDC.

II) Рассмотрим   и .

1) АВ = С D (по свойству параллелограмма).

2) АС = В D (по свойству параллелограмма).

3) ВС – общая.

Из условий 1), 2), 3) получаем, что  =  по 3-м сторонам. Тогда  по 2-му свойству площади.

III) . Тогда

Что и требовалось доказать.

P.S.

Площадь трапеции.

Теорема.  

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Дано: ABCD – трапеция. AD = a, ВС = b, BH = h.

Доказать:

Доказательство:

I) Д.П.: BD - диагональ. DK BC.

Тогда ВН = DK = h.

II)  =  + = AD·BH + BC·DK = ah + bh =  h(a + b).

Что и требовалось доказать.

Образец оформления задачи на вычисление площади параллелограмма.

Вычислить площадь параллелограмма.

Дано: ABCD – параллелограмм.   АВ = 12см,   ВС = 14см,  

Найти: S.

Решение:

I)  - прямоугольный. (катет, лежащий напротив угла в 30^° равен половине гипотенузы).

II)

Ответ:

Задачи на построение

Построить треугольник по двум сторонам и высоте к 3-ей стороне.

I. Дано:

 

 

II. Построить:

III.Анализ:

IV. Построение:

1) прямая с.

2) СН  с, СН = h _с.

3) Окр. (С, R = a) с = { B; B ₁ }.

4) Окр. (С, R = b) с = { A; A ₁ }.

5) АС, В, С, ВС.

V.Доказательство:

 - искомый, т.к.  

 - искомый, т.к.

VI.Исследование:

1) Задача не имеет решения, если

2) Задача имеет 2 решения, если

3) Если a = b, то  - равнобедренный.

4) Если  или , то  - прямоугольный.

 

 

Площади многоугольников.

* Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую она занимает.

* Найти площадь – это, значит, определить, сколько квадратных единиц содержится в данном многоугольнике (измерение площади – это сравнение площади данного многоугольника с единицей измерения).

Свойства площади.

1) За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной единица (1мм², 1см², 1дм², 1м², 1а, 1га, 1км²).

2) Площадь выражается положительным числом.

Основные свойства площади.

3) Равные многоугольники имеют равные площади.

4) Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

5) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата.

Теорема.

Площадь квадрата со стороной а равна а².

Дано: ABCD – квадрат.

Доказать:

Доказательство:  

 В квадрате со стороной 1 содержится п² равных квадратов.  -   площадь одного квадратика. Тогда площадь всего квадрата равна:

Площадь прямоугольника.

Теорема.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Дано: ABCD – прямоугольник со сторонами а, b  и площадью S.

Доказать: S = ab.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b  и площадью S.

Д.П.: Достроим прямоугольник до квадрата со стороной (а + b). Тогда по свойству 3

С другой стороны

Приравняем правые части.

=

.

S = ab.

Что и требовалось доказать.

 

Площадь параллелограмма.

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма.

      

Теорема.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано: ABCD – параллелограмм. S – площадь параллелограмма.

Доказать: S = AD · BH.

Доказательство: AD – основание, BH – высота, СК – высота.

I) Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и  С другой стороны, она составлена из прямоугольника ВНКС  и

II) Рассмотрим   и  (они прямоугольные).

1) (соответственные при параллельных прямых АВ и CD и секущей АК).

2) АВ  = С D  (по свойству параллелограмма).

Из условий 1), 2) получаем, что  =  по гипотенузе и острому углу. Значит,  (по свойству площади).

III) Из I и II  получаем, что

IV)     Тогда                                        Что и требовалось доказать.

Площадь треугольника.

Теорема.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Дано: , АС – основание, ВН – высота, АС = а, ВН = h.

Доказать:

Доказательство:  

I) Достроим  до параллелограмма ABDC.

II) Рассмотрим   и .

1) АВ = С D (по свойству параллелограмма).

2) АС = В D (по свойству параллелограмма).

3) ВС – общая.

Из условий 1), 2), 3) получаем, что  =  по 3-м сторонам. Тогда  по 2-му свойству площади.

III) . Тогда

Что и требовалось доказать.

P.S.

Следствия из теоремы о площади треугольника.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Дано: , СВ = а, AC = b.

Доказать:

Доказательство:    h = b. Тогда  

Что и требовалось доказать.

Следствие 2 (Лемма).

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как их основания.

Дано:  и

Доказать:

Доказательство:

Разделим первое равенство на второе.

Что и требовалось доказать.

Площадь трапеции.

Теорема.  

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Дано: ABCD – трапеция. AD = a, ВС = b, BH = h.

Доказать:

Доказательство:

I) Д.П.: BD - диагональ. DK BC.

Тогда ВН = DK = h.

II)  =  + = AD·BH + BC·DK = ah + bh =  h(a + b).

Что и требовалось доказать.

Образец оформления задачи на вычисление площади параллелограмма.

Вычислить площадь параллелограмма.

Дано: ABCD – параллелограмм.   АВ = 12см,   ВС = 14см,  

Найти: S.

Решение:

I)  - прямоугольный. (катет, лежащий напротив угла в 30^° равен половине гипотенузы).

II)

Ответ: